【模板】倍增求LCA

博客涉及树结构和倍增相关内容,树结构是重要的数据结构,倍增是一种算法思想。二者在信息技术领域有广泛应用,可用于解决多种问题。
int p[maxn][20]

int LCA(int x, int y) {
	if (dep[x] > dep[y]) swap(x, y);
	for (int i = 20; i >= 0; i--) {
		if (dep[y] - (1 << i) >= dep[x])
			y = p[y][i];
	}
	if (x == y) return x;
	for (int i = 20; i >= 0; i--) {
		if (p[x][i] == p[y][i]) continue;
		x = p[x][i], y = p[y][i];
	}
	return p[x][0];
}

void dfs1(int x, int pre, int d)
{
    dep[x] = d;
    fa[x] = pre;
    p[x][0] = pre;
    for (int i = 1; (1 << i) <= dep[x]; i++)
		p[x][i] = p[p[x][i - 1]][i - 1];
    for(int i=head[x]; i!=-1;i = e[i].next)
    {
        if(e[i].v == pre)
            continue;
        dfs1(e[i].v, x, d+1);
    }
}

倍增LCA(Least Common Ancestor,最近公共祖先)是解树上最近公共祖先问题的一种经典算法,它是朴素算法的改进算法,通过预处理和巧妙的倍增思想,大幅提升了解效率[^1]。 ### 原理 - **倍增思想**:倍增法是一种每次将情况翻倍从而将线性处理转化为对数级处理,进而极大优化时间复杂度的方法。对于树上的节点,通过预处理出每个节点的第 $2^j$ 个祖先,在查找最近公共祖先时,利用这些预处理信息进行快速跳转,避免了朴素算法中一步一步向上查找的低效过程。 - **预处理**:构建一个二维数组 $f[i][j]$,其中 $f[i][j]$ 表示节点 $i$ 的第 $2^j$ 个祖先。这个数组可以通过深度优先搜索(DFS)进行预处理。 ### 代码示例 以下是一个使用C++实现的倍增LCA算法的基本模板: ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 5e4 + 10; int a[N];//原始输入数组 //st表,表示需要查询的数组的从下标i到下标i+2^j-1的最值 int mx[N][30];//最大值 int mn[N][30];//最小值 //预处理 void init(int n) { for(int i = 1; i <= n; i++){ mx[i][0] = a[i]; mn[i][0] = a[i]; } for(int j = 1; (1 << j) <= n; j++) { for(int i = 1; i + (1 << j) <= n + 1; i++){ mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); mx[i][j] = max(mx[i][j - 1], mx[i + (1 << (j - 1))][j - 1]); } } } //查询函数 int search(int l, int r)//l和r范围为1~n { int k = log2(r - l + 1); int t1 = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k]);//区间最小值 int t2 = max(mx[l][k], mx[r - (1 << k) + 1][k]);//区间最大值 return t2 - t1; } int main(){ // freopen("in.txt","r",stdin); int n, q; scanf("%d%d", &n, &q); for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); init(n); while(q--){ int l, r; scanf("%d%d", &l, &r); printf("%d\n", search(l, r)); } return 0; } ``` ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:预处理的时间复杂度为 $O(n \log n)$,每次查询的时间复杂度为 $O(\log n)$,其中 $n$ 是树中节点的数量。 - **空间复杂度**:主要用于存储预处理的 $f[i][j]$ 数组,空间复杂度为 $O(n \log n)$。 ### 应用场景 在解决树上的路径查询、距离计算等问题时,经常需要用到LCA。例如,在处理树节点的第K个祖先、在传球游戏中最大化函数值、林卡树等问题中,都可以使用树上倍增LCA的方法[^2]。
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