59、WH GT2模糊系统的类型约简与去模糊化

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WH GT2模糊系统的类型约简与去模糊化

1. 水平切片类型约简概述

水平切片类型约简是将类型约简应用于水平切片数量，结果是一个水平切片类型约简集。不同类型的类型约简使用不同的水平切片数量。在WH GT2模糊系统中，类型约简分别对每个水平切片执行，之后通过去模糊化将类型约简的结果在所有水平切片上聚合。去模糊器将所有水平切片模糊系统耦合在一起。

2. 不同类型的类型约简

2.1 质心类型约简（Centroid Type - Reduction）

对于WH GT2 Mamdani模糊系统，质心类型约简分别对每个水平切片执行，基于定理8.4。以(\widetilde{B} {WH})表示，有公式：
[C {\widetilde{B} {WH}}(y)=\bigcup {\alpha\in[0,1]}CR_{\widetilde{B} {\alpha}}(y)=\bigcup {\alpha\in[0,1]}\alpha/[cl(R_{\widetilde{B} {\alpha}}), cr(R {\widetilde{B} {\alpha}})]=\bigcup {\alpha\in[0,1]}\alpha/[cl(\alpha|x_0), cr(\alpha|x_0)]]
其中，(CR_{\widetilde{B} {\alpha}}(y))是(\alpha/FOU(\widetilde{B} {\alpha}))的质心，(cl(\alpha|x_0))和(cr(\alpha|x_0))的计算公式如下：
[cl(\alpha|x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{L}y_i\underline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)+\sum_{i = L + 1}^{N}y_i\overline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)}{\sum_{i = 1}^{L}\underline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)+\sum_{i = L + 1}^{N}\overline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)}]
[cr(\alpha|x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{R}y_i\overline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)+\sum_{i = R + 1}^{N}y_i\underline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)}{\sum_{i = 1}^{R}\overline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)+\sum_{i = R + 1}^{N}\underline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha}}(y_i|x_0)}]
可以使用EIASC或EKM算法来计算(cl(\alpha|x_0))和(cr(\alpha|x_0))，它们都位于y轴上。

2.2 集中心类型约简（Center - of Sets Type - Reduction）

对于WH GT2 Mamdani模糊系统，集中心类型约简也分别对每个水平切片执行。首先计算M个GT2 Zadeh规则后件GT2 FSs的质心：
[C_{\widetilde{G} l}=\sup {\forall\alpha\in[0,1]}C_{\widetilde{G} {l\alpha}}]
[C {\widetilde{G} {l\alpha}}=\alpha[cl(\widetilde{G} {l\alpha}), cr(\widetilde{G} {l\alpha})]]
这些质心在WH GT2模糊系统设计完成后可以计算一次并存储，因为它们不依赖于(x_0)。
然后使用这些质心和(\alpha)级激发集(F {l\alpha}(x_0))来计算(Y_{COS,\alpha}(x_0))：
[Y_{COS,\alpha}(x_0)=\alpha/[y_{COS,l,\alpha}(x_0), y_{COS,r,\alpha}(x_0)]]
其中，(y_{COS,l,\alpha}(x_0))和(y_{COS,r,\alpha}(x_0))的计算公式如下：
[y_{COS,l,\alpha}(x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{L}cl(\widetilde{G} {l\alpha})\underline{f} {i\alpha}(x_0)+\sum_{i = L + 1}^{M}cl(\widetilde{G} {l\alpha})f {i\alpha}(x_0)}{\sum_{i = 1}^{L}\underline{f} {i\alpha}(x_0)+\sum {i = L + 1}^{M}f_{i\alpha}(x_0)}]
[y_{COS,r,\alpha}(x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{R}cr(\widetilde{G} {l\alpha})f {i\alpha}(x_0)+\sum_{i = R + 1}^{M}cr(\widetilde{G} {l\alpha})\underline{f} {i\alpha}(x_0)}{\sum_{i = 1}^{R}f_{i\alpha}(x_0)+\sum_{i = R + 1}^{M}\underline{f} {i\alpha}(x_0)}]
同样可以使用EIASC或EKM算法来计算(y {COS,l,\alpha}(x_0))和(y_{COS,r,\alpha}(x_0))，它们位于y轴上。最终得到：
[Y_{WH - COS}(x_0)=\bigcup_{\alpha\in[0,1]}Y_{COS,\alpha}(x_0)=\bigcup_{\alpha\in[0,1]}\alpha/[y_{COS,l,\alpha}(x_0), y_{COS,r,\alpha}(x_0)]]

2.3 WH GT2 TSK模糊系统的类型约简

WH GT2 TSK模糊系统至少有四种类型：
- 未归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统 ：前件是GT2 FSs，后件是(g_l = c_{l0}+c_{l1}x_1 + c_{l2}x_2+\cdots + c_{lp}x_p)，系数(c_{li})是数字，计算输出不需要迭代计算。
- 归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统 ：前件是GT2 FSs，后件是(g_l = c_{l0}+c_{l1}x_1 + c_{l2}x_2+\cdots + c_{lp}x_p)，系数(c_{li})是数字，计算输出需要迭代计算。
- 未归一化A2 - C1 WH GT2 TSK模糊系统 ：前件是GT2 FSs，后件是(G_l = C_{l0}+C_{l1}x_1 + C_{l2}x_2+\cdots + C_{lp}x_p)，系数(C_{li})是类型1区间模糊数，计算输出不需要迭代计算。
- 归一化A2 - C1 WH GT2 TSK模糊系统 ：前件是GT2 FSs，后件是(G_l = C_{l0}+C_{l1}x_1 + C_{l2}x_2+\cdots + C_{lp}x_p)，系数(C_{li})是类型1区间模糊数，计算输出需要迭代计算。

下面详细介绍未归一化和归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统的类型约简：
- 未归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统 ：
首先计算(Y_{U_{TSK},\alpha}(x_0)=\alpha/[y_{U_{TSK},l,\alpha}(x_0), y_{U_{TSK},r,\alpha}(x_0)])，其中：
[y_{U_{TSK},l,\alpha}(x_0)=\sum_{i = 1}^{M}g_i(x_0)f_{i\alpha}(x_0)]
[y_{U_{TSK},r,\alpha}(x_0)=\sum_{i = 1}^{M}g_i(x_0)\underline{f} {i\alpha}(x_0)]
(g_i(x_0)=c {i0}+c_{i1}x_{01}+c_{i2}x_{02}+\cdots + c_{ip}x_{0p})，(f_{i\alpha}(x_0))和(\underline{f} {i\alpha}(x_0))是第i条规则的(\alpha)级激发区间的端点。最终得到：
[Y {U_{WH - TSK}}(x_0)=\bigcup_{\alpha\in[0,1]}Y_{U_{TSK},\alpha}(x_0)=\bigcup_{\alpha\in[0,1]}\alpha/[y_{U_{TSK},l,\alpha}(x_0), y_{U_{TSK},r,\alpha}(x_0)]]
- 归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统 ：
首先计算(Y_{N_{TSK},\alpha}(x_0)=\alpha[y_{N_{TSK},l,\alpha}(x_0), y_{N_{TSK},r,\alpha}(x_0)])，其中：
[y_{N_{TSK},l,\alpha}(x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{L}g_i(x_0)\underline{f} {i\alpha}(x_0)+\sum {i = L + 1}^{M}g_i(x_0)f_{i\alpha}(x_0)}{\sum_{i = 1}^{L}\underline{f} {i\alpha}(x_0)+\sum {i = L + 1}^{M}f_{i\alpha}(x_0)}]
[y_{N_{TSK},r,\alpha}(x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{R}g_i(x_0)f_{i\alpha}(x_0)+\sum_{i = R + 1}^{M}g_i(x_0)\underline{f} {i\alpha}(x_0)}{\sum {i = 1}^{R}f_{i\alpha}(x_0)+\sum_{i = R + 1}^{M}\underline{f} {i\alpha}(x_0)}]
可以使用EKM或EIASC算法来计算(y {N_{TSK},l,\alpha}(x_0))和(y_{N_{TSK},r,\alpha}(x_0))，它们位于y轴上。最终(Y_{N_{WH - TSK}}(x_0))的形式与未归一化情况类似，只是将未归一化的量替换为归一化的量。

3. 去模糊化方法

在WH GT2模糊系统中，有三种去模糊化方法，这里以使用集中心类型约简的WH GT2 Mamdani模糊系统为例进行说明，这些方法同样适用于其他WH GT2模糊系统。所有去模糊化方法都从(Y_{WH - COS}(x_0))开始，并且排除(\alpha = 0)的切片，因为它对去模糊化结果没有贡献。

3.1 近似与去模糊化（Approximation and Defuzziﬁcation）

当将(Y_{WH - COS}(x_0))视为y的函数，将每个(\alpha/Y_{COS,\alpha}(x_0))的两个端点投影到y轴上，得到一组非均匀采样的点(y_1,y_2,\cdots,y_{2k})。为了在y轴上实现均匀采样，可以使用样条近似对(2k)个端点值进行近似，得到(\hat{Y} {WH - COS}(y))，然后对其进行均匀采样，最后计算(\hat{Y} {WH - COS}(y))的重心作为去模糊化值(y_{WH - 1}(x_0))：
[y_{WH - 1}(x_0)=\frac{\sum_{j = 1}^{J}y_j’\hat{Y} {WH - COS}(y_j’)}{\sum {j = 1}^{J}\hat{Y}_{WH - COS}(y_j’)}]
这种方法需要大量计算，不太适用于GT2模糊系统的实时应用。

3.2 端点去模糊化（End - Points Defuzziﬁcation）

在这种方法中，在每个(\alpha/Y_{COS,\alpha}(x_0))的两个端点处创建两个幅度为(\alpha)的尖峰，然后计算这些尖峰的重心作为去模糊化值(y_{WH - 2}(x_0))：
[y_{WH - 2}(x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{k}\alpha_iy_{COS,l,\alpha_i}(x_0)+\alpha_iy_{COS,r,\alpha_i}(x_0)}{\sum_{i = 1}^{k}2\alpha_i}]

3.3 端点平均值去模糊化（Average of End - Points Defuzziﬁcation）

首先计算每个(\alpha/Y_{COS,\alpha}(x_0))的平均值，并在该值处放置一个幅度为(\alpha)的尖峰，然后计算这些尖峰的重心作为去模糊化值(y_{WH - 3}(x_0))：
[y_{WH - 3}(x_0)=\frac{\sum_{i = 1}^{k}\alpha_i\frac{y_{COS,l,\alpha_i}(x_0)+y_{COS,r,\alpha_i}(x_0)}{2}}{\sum_{i = 1}^{k}\alpha_i}]
定理表明，端点去模糊化和端点平均值去模糊化给出相同的结果，即(y_{WH - 2}(x_0)=y_{WH - 3}(x_0))。

4. 不同WH GT2模糊系统的计算总结

为了实现以下四种WH GT2模糊系统，有一些共同的计算步骤：
1. 决定使用多少个(\alpha)平面（记为(k_{max})）以及它们的值(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{k_{max}})。
2. 计算并存储p个前件GT2 FSs和M个后件GT2 FSs的(k_{max})个(\alpha)平面：
[\widetilde{F} {li,\alpha_k}=\int {x_i\in X_i}[a_{li,\alpha_k}(x_i), b_{li,\alpha_k}(x_i)]/x_i]
[\widetilde{G} {l\alpha_k}=\int {y\in Y}[c_{l\alpha_k}(y), d_{l\alpha_k}(y)]/y]
3. 对于(x = x_0)和(k = 1,\cdots,k_{max})，计算(\alpha_k)级激发集(F_{l\alpha_k}(x_0)=\alpha_k/[f_{l\alpha_k}(x_0),\underline{f}_{l\alpha_k}(x_0)])。

下面分别总结四种模糊系统的具体计算步骤：
|模糊系统类型|计算步骤|
| ---- | ---- |
|质心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统|1. 计算水平切片（(\alpha)级）激发规则输出集(FOU(\widetilde{B} {l\alpha_k})=[\mu {\widetilde{B} {l\alpha_k}}(y|x_0),\overline{\mu} {\widetilde{B} {l\alpha_k}}(y|x_0)])。
2. 计算水平切片聚合输出(FOU(\widetilde{B} {\alpha_k})=[\mu_{\widetilde{B} {\alpha_k}}(y|x_0),\overline{\mu} {\widetilde{B} {\alpha_k}}(y|x_0)])。
3. 使用EIASC或EKM算法计算(\widetilde{B} {\alpha_k})的质心([cl(\alpha_k|x_0), cr(\alpha_k|x_0)])。
4. 计算端点平均值去模糊化输出(y_{WH}(x_0)=\frac{\sum_{k = 1}^{k_{max}}\alpha_k\frac{[cl(\alpha_k|x_0)+cr(\alpha_k|x_0)]}{2}}{\sum_{k = 1}^{k_{max}}\alpha_k})。|
|集中心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统|1. 使用EIASC或EKM算法计算(\widetilde{G} {l\alpha_k})的质心([cl(\widetilde{G} {l\alpha}), cr(\widetilde{G} {l\alpha})])（只需计算一次）。
2. 使用EIASC或EKM算法计算([y {COS,l,\alpha_k}(x_0), y_{COS,r,\alpha_k}(x_0)])。
3. 计算端点平均值去模糊化输出(y_{COS_{WH}}(x_0)=\frac{\sum_{k = 1}^{k_{max}}\alpha_k\frac{y_{COS,l,\alpha_k}(x_0)+y_{COS,r,\alpha_k}(x_0)}{2}}{\sum_{k = 1}^{k_{max}}\alpha_k})。|
|未归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统|1. 通过将(\alpha=\alpha_k)代入公式计算(y_{U_{TSK},l,\alpha_k}(x_0))和(y_{U_{TSK},r,\alpha_k}(x_0))。
2. 计算端点平均值去模糊化输出(y_{U_{WH - TSK}}(x_0)=\frac{\sum_{k = 1}^{k_{max}}\alpha_k\frac{y_{U_{TSK},l,\alpha_k}(x_0)+y_{U_{TSK},r,\alpha_k}(x_0)}{2}}{\sum_{k = 1}^{k_{max}}\alpha_k})。|
|归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统|1. 计算(y_{N_{TSK},l,\alpha_k}(x_0))和(y_{N_{TSK},r,\alpha_k}(x_0))。
2. 计算端点平均值去模糊化输出（与未归一化情况类似，只是使用归一化的量）。|

下面是一个简单的mermaid流程图，展示了集中心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统的主要计算流程：

graph TD;
    A[确定α平面数量和值] --> B[计算前件和后件α平面];
    B --> C[计算α级激发集];
    C --> D[计算G_lαk质心];
    D --> E[计算yCOS,l,αk和yCOS,r,αk];
    E --> F[计算端点平均值去模糊化输出];

综上所述，不同的WH GT2模糊系统在类型约简和去模糊化方面有各自的特点和计算步骤。在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的模糊系统和计算方法。例如，如果对计算实时性要求较高，集中心类型约简 + 端点平均值去模糊化的方法可能更合适，因为它比质心类型约简 + 端点平均值去模糊化需要的计算更少。

WH GT2模糊系统的类型约简与去模糊化

5. 不同去模糊化方法的特点分析

不同的去模糊化方法在计算复杂度、实时性和结果准确性等方面存在差异，下面对三种去模糊化方法进行详细对比分析：
|去模糊化方法|计算复杂度|实时性|结果准确性|适用场景|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|近似与去模糊化|高，需要进行样条近似和均匀采样等大量计算|差，不适用于实时应用|相对较高，通过近似和均匀采样尽量还原真实值|对结果准确性要求较高，对实时性要求不高的场景|
|端点去模糊化|适中，主要是计算尖峰的重心|一般，计算量相对较小，但仍有一定计算负担|一般，基于端点信息进行计算|对实时性有一定要求，对结果准确性要求不是极高的场景|
|端点平均值去模糊化|适中，计算步骤相对清晰，但仍需使用算法计算端点值|一般，计算量与端点去模糊化相近|一般，与端点去模糊化结果相同|对实时性有一定要求，对结果准确性要求不是极高的场景|

从表格中可以看出，近似与去模糊化方法虽然结果准确性相对较高，但计算复杂度高，实时性差；端点去模糊化和端点平均值去模糊化方法计算复杂度适中，实时性一般，且结果准确性相当。在实际应用中，需要根据具体情况权衡选择合适的去模糊化方法。

6. 不同WH GT2模糊系统的性能比较

不同类型的WH GT2模糊系统在计算复杂度、适用场景等方面也有所不同，下面对四种常见的WH GT2模糊系统进行性能比较：
|模糊系统类型|计算复杂度|适用场景|
| ---- | ---- | ---- |
|质心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统|高，涉及多个步骤的计算和算法应用|对结果准确性要求较高，对计算复杂度不太敏感的场景|
|集中心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统|相对较低，计算步骤相对较少|对计算复杂度和实时性有一定要求的场景|
|未归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统|低，不需要迭代计算|对计算速度要求较高，后件为线性函数的场景|
|归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统|适中，需要迭代计算|对结果准确性有一定要求，后件为线性函数的场景|

通过性能比较可以发现，集中心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统和未归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统在计算复杂度方面具有一定优势，适用于对计算速度有要求的场景；而质心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统和归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统在结果准确性方面可能更有优势，适用于对结果要求较高的场景。

7. 实际应用中的选择建议

在实际应用中，选择合适的WH GT2模糊系统和去模糊化方法至关重要。以下是一些选择建议：
- 根据实时性要求选择 ：如果应用场景对实时性要求较高，如实时控制系统，建议选择集中心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统或未归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统，同时可以考虑端点去模糊化或端点平均值去模糊化方法，以减少计算量。
- 根据结果准确性要求选择 ：如果对结果准确性要求较高，如复杂的决策系统，质心类型约简 + 端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统或归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统可能更合适，并且可以考虑使用近似与去模糊化方法来提高结果的准确性。
- 根据系统复杂度选择 ：如果系统本身复杂度较高，为了避免计算负担过重，可以选择计算复杂度较低的模糊系统和去模糊化方法；反之，如果系统复杂度较低，可以适当选择计算复杂度较高但结果更准确的方法。

8. 总结与展望

本文详细介绍了WH GT2模糊系统的类型约简和去模糊化方法，包括质心类型约简、集中心类型约简以及三种去模糊化方法，并对不同类型的WH GT2模糊系统进行了总结和性能比较。不同的模糊系统和去模糊化方法在计算复杂度、实时性和结果准确性等方面存在差异，在实际应用中需要根据具体需求进行选择。

未来，随着模糊系统应用领域的不断拓展，对WH GT2模糊系统的性能要求也将不断提高。可以进一步研究如何优化计算算法，降低计算复杂度，提高实时性；同时，探索新的去模糊化方法和模糊系统结构，以提高结果的准确性和稳定性。此外，将WH GT2模糊系统与其他智能算法相结合，如神经网络、遗传算法等，也是一个有前景的研究方向，可以充分发挥不同算法的优势，提高系统的整体性能。

下面是一个mermaid流程图，展示了根据不同需求选择WH GT2模糊系统和去模糊化方法的决策过程：

graph TD;
    A[明确应用需求] --> B{实时性要求高?};
    B -- 是 --> C{系统复杂度高?};
    C -- 是 --> D[集中心类型约简+端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统<br>端点去模糊化或端点平均值去模糊化方法];
    C -- 否 --> E[未归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统<br>端点去模糊化或端点平均值去模糊化方法];
    B -- 否 --> F{结果准确性要求高?};
    F -- 是 --> G{系统复杂度高?};
    G -- 是 --> H[质心类型约简+端点平均值去模糊化的WH GT2 Mamdani模糊系统<br>近似与去模糊化方法];
    G -- 否 --> I[归一化A2 - C0 WH GT2 TSK模糊系统<br>近似与去模糊化方法];
    F -- 否 --> J[根据系统复杂度选择合适的模糊系统和去模糊化方法];

通过这个流程图，可以更直观地根据不同的应用需求选择合适的WH GT2模糊系统和去模糊化方法，为实际应用提供指导。