52、时间序列预测中的模糊系统设计与性能分析

最新推荐文章于 2025-09-08 20:11:57 发布

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分类专栏：探索模糊逻辑系统的新维度文章标签：时间序列预测模糊系统 IT2模糊系统

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时间序列预测中的模糊系统设计与性能分析

1. 引言

时间序列预测在众多领域都有着广泛的应用，然而，测量噪声的存在给预测带来了挑战。当测量噪声具有不同特性（如平稳和非平稳）时，如何设计高效的预测系统成为关键问题。本文将围绕不同类型的模糊系统在时间序列预测中的应用展开，对比分析它们在平稳和非平稳测量噪声下的性能表现。

2. 平稳测量噪声下的时间序列预测

2.1 问题描述与数据准备

采用 1000 个噪声数据点：$x(1001), x(1002), \cdots, x(2000)$。
前 504 个噪声数据（$x(1001), x(1002), \cdots, x(1504)$）用于训练 IT2 模糊系统预测器。
剩余 496 个噪声数据（$x(1505), x(1506), \cdots, x(2000)$）用于测试设计结果。
无噪声的 Mackey - Glass 时间序列如图 4.3 所示，无噪声采样时间序列 $s(k)$ 被均匀分布的平稳加性噪声 $n(k)$ 干扰，即 $x(k) = s(k) + n(k)$，其中 $k = 1001, 1002, \cdots, 2000$，且信噪比 $SNR = 0 dB$。

2.2 规则设置

预测 $x(k + 1)$ 的规则有四个前件：$x(k - 3), x(k - 2), x(k - 1), x(k)$，每个前件使用两个模糊集，共 16 条规则。

2.3 模糊系统设计

2.3.1 单例 IT2 模糊系统预测器

初始化 ：
- 首先设计最佳的单例和非单例 T1 模糊系统，然后使用它们的部分参数初始化单例 IT2 Mamdani 模糊系统。
- 四个前件的两个模糊集的均值不确定区间初始设置为：$[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 和 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$，其中 $m_x$ 和 $r_x$ 分别是 504 个训练样本数据的均值和标准差。
- 加性噪声标准差 $r_n$ 采用非单例 T1 模糊系统设计中输入标准差的最终调整结果。
- $c_r(\tilde{G}_i)$ 和 $c_l(\tilde{G}_i)$ 初始分别选择为 $\bar{y}_i + r_n$ 和 $\bar{y}_i - r_n$，其中 $\bar{y}_i$ 从 T1 单例模糊系统设计中获得。
参数调整 ：
- 单例 IT2 Mamdani 模糊系统在最速下降设计中调整的参数包括：四个高斯主隶属函数的均值左右边界和标准差，以及每个后件 T2 模糊集质心的左右端点。
- 每条规则调整 14 个参数，共 16 条规则，总计调整 224 个参数。
训练与测试 ：
- 使用最速下降算法调整，学习参数 $b_h = 0.2$。
- 进行六个训练周期，每个周期后使用测试数据计算 $RMSE_{s2}(SD)$ 评估性能。
- 重复该过程 50 次，得到 50 个 $RMSE_{s2}(SD)$ 值。
性能分析 ：
- 单例 IT2 模糊系统在均方根误差（RMSE）的均值和标准差方面比其 T1 对应系统有显著性能提升。
- 最终平均 RMSE 从约 0.15 降至 0.136，降幅约 9.3%；RMSE 标准差从约 $10.2 \times 10^{-3}$ 降至 $8.4 \times 10^{-3}$，降幅超过 17%。

2.3.2 T1 非单例 IT2 模糊系统预测器

设计方法 ：采用部分依赖方法，保留单例 IT2 模糊系统的所有参数，仅调整 T1 非单例 IT2 Mamdani 模糊系统的新参数（这里只有一个新参数 $r_X$）。
RMSE 计算 ：$RMSE_{ns2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{496} \sum_{k = 1504}^{1999} [s(k + 1) - y_{ns2 - 1}(x(k))]^2}$，其中 $y_{ns2 - 1}$ 使用 (9.113), (9.112) 和 (9.111) 计算，点火区间使用 (9.51) 和 (9.52) 计算。
参数调整 ：使用最速下降算法仅调整 $r_X$，$r_X$ 初始采用非单例 T1 模糊系统设计的最终调整结果，学习参数 $b_h = 0.2$。
训练与测试 ：同样进行六个训练周期，每个周期后使用测试数据计算 $RMSE_{ns2 - 1}(SD)$ 评估性能，重复 50 次。
性能分析 ：
- 经过六个训练周期，T1 非单例 IT2 Mamdani 模糊系统相对于单例 IT2 模糊系统在 RMSE 的均值和标准差方面仅有小幅性能提升。
- $RMSE_{ns2 - 1}(SD)$ 的均值和标准差的最小值出现在第一个周期，且第一个周期的 $RMSE_{ns2 - 1}(SD)$ 标准差远低于 $RMSE_{s2}(SD)$ 的标准差，这表明该系统适用于实时自适应环境。

2.4 不同模糊系统参数总结

模糊系统	一个输入集的参数	一个前件的参数	一个后件的参数	总参数数量
单例 T1	NA	$m_{F_i}^k, r_{F_i}^k$	$\bar{y}_i$	$2pM + M$
非单例 T1	$r_{X_k}$	$m_{F_i}^k, r_{F_i}^k$	$\bar{y}_i$	$2pM + M + p$
单例 IT2	NA	$m_i^{k1}, m_i^{k2}, r_i^k$	$y_i^l, y_i^r$	$3pM + 2M$
T1 非单例 IT2	$r_{X_k}$	$m_i^{k1}, m_i^{k2}, r_i^k$	$y_i^l, y_i^r$	$3pM + 2M + p$
IT2 非单例 IT2	$r_{k1}, r_{k2}$	$m_i^{k1}, m_i^{k2}, r_i^k$	$y_i^l, y_i^r$	$3pM + 2M + 2p$

2.5 流程图

graph LR
    A[数据准备] --> B[规则设置]
    B --> C[单例 IT2 模糊系统设计]
    B --> D[T1 非单例 IT2 模糊系统设计]
    C --> E[初始化参数]
    C --> F[参数调整]
    C --> G[训练与测试]
    D --> H[初始化参数]
    D --> I[参数调整]
    D --> J[训练与测试]
    G --> K[性能分析]
    J --> K

3. 非平稳测量噪声下的时间序列预测

3.1 问题背景

在实际时间序列中，如美元兑德国马克的价格曲线，市场波动性随时间变化，噪声分量的方差（与波动性相关）不一定恒定，此时加性测量噪声是非平稳的。假设时间序列测量值被零均值加性噪声干扰，信噪比从 0 dB（标准差为 $r_{n0 dB}$）到 10 dB（标准差为 $r_{n10 dB}$）以未知方式变化。

3.2 选择 IT2 非单例 IT2 模糊系统的原因

根据信噪比公式 $SNR = 10 \log_{10} \frac{r_s^2}{r_n^2}$，可推导出 $r_n = \frac{r_s}{10^{SNR/20}}$。此公式中存在两个不确定源：$r_s$ 和 $SNR$。由于信号未知，$r_s$ 不确定，且 $SNR$ 在一定范围内变化，因此将 IT2 模糊系统中的每个输入测量建模为以测量值为中心、标准差在一定区间内变化的高斯分布（即 IT2 模糊数）是合适的。

3.3 六周期基于导数的设计

3.3.1 设计对比

比较五种模糊系统预测器（单例 T1、非单例 T1、单例 IT2、T1 非单例 IT2 和 IT2 非单例 IT2）对 Mackey - Glass 时间序列的设计。
- 所有设计均使用最速下降法，基于 1000 个噪声数据点：$x(1001), x(1002), \cdots, x(2000)$。
- 前 1504 个数据用于训练，后 496 个数据用于测试。
- 无噪声的 Mackey - Glass 时间序列与平稳噪声情况相同，但现在采样值 $s(k)$ 被均匀分布的非平稳加性噪声 $n(k)$ 干扰，$0 dB \leq SNR \leq 10 dB$，即 $r_{n0 dB} \leq r_n \leq r_{n10 dB}$，每个 $k$ 值下，$r_n$ 在 $[r_{n0 dB}, r_{n10 dB}]$ 内均匀分布，该区间分为 100 个级别。

3.3.2 规则与隶属函数选择

预测 $x(k + 1)$ 的规则仍使用四个前件，每个前件两个模糊集，共 16 条规则。
两个 T1 模糊系统的前件选择高斯隶属函数，三个 IT2 模糊系统的前件选择均值不确定的高斯主隶属函数。
T1 非单例情况下输入测量选择高斯隶属函数，IT2 非单例情况下输入测量选择标准差不确定的高斯主隶属函数。

3.3.3 参数初始化

模糊系统	输入	每个前件	后件
单例 T1	NA	均值：$m_x - 2r_x$ 或 $m_x + 2r_x$，$r_{F_i}^k = 2r_x$	$\bar{y}_i \in [0, 1]$
非单例 T1	$r_{X_k} = r_n$	均值：$m_x - 2r_x$ 或 $m_x + 2r_x$，$r_{F_i}^k = 2r_x$	$\bar{y}_i \in [0, 1]$
单例 IT2	NA	均值：$[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 或 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$，$r_i^k = 2r_x$	$y_i^l = \bar{y}_i - r_n$，$y_i^r = \bar{y}_i + r_n$
T1 非单例 IT2	$r_{X_k} = r_n$	均值：$[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 或 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$，$r_i^k = 2r_x$	$y_i^l = \bar{y}_i - r_n$，$y_i^r = \bar{y}_i + r_n$
IT2 非单例 IT2	$r_{k1} = \hat{r} {n10 dB}$，$r {k2} = \hat{r}_{n0 dB}$	均值：$[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 或 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$，$r_i^k = 2r_x$	$y_i^l = \bar{y}_i - r_n$，$y_i^r = \bar{y}_i + r_n$

3.3.4 性能评估

使用相应的 RMSE 公式评估性能：
- 单例 T1 模糊系统使用 (4.51) 计算 RMSE。
- 非单例 T1 模糊系统使用 (4.53) 计算 RMSE。
- 单例 IT2 模糊系统使用 $RMSE_{s2} = \sqrt{\frac{1}{496} \sum_{k = 1504}^{1999} [s(k + 1) - y_{s2}(x(k))]^2}$ 计算 RMSE。
- T1 非单例 IT2 模糊系统使用 $RMSE_{ns2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{496} \sum_{k = 1504}^{1999} [s(k + 1) - y_{ns2 - 1}(x(k))]^2}$ 计算 RMSE。
- IT2 非单例 IT2 设计使用 $RMSE_{ns2 - 2}(SD) = \sqrt{\frac{1}{496} \sum_{k = 1504}^{1999} [s(k + 1) - y_{ns2 - 2}(x(k))]^2}$ 计算 RMSE，其中 $y_{ns2 - 2}$ 使用 (9.113), (9.112) 和 (9.111) 计算，点火区间使用 (9.82) 和 (9.83) 计算。
每个模糊系统使用最速下降算法调整，学习参数 $b_h = 0.4$，进行六个训练周期，每个周期后使用测试数据计算相应的 RMSE，重复 50 次。

3.3.5 性能分析

IT2 模糊系统表现更优 ：IT2 模糊系统的性能优于 T1 模糊系统，其中 IT2 非单例 IT2 模糊系统性能最佳，T1 非单例 IT2 模糊系统也有很好的结果。T1 非单例 IT2 模糊系统使用 $r_n$ 作为输入测量隶属函数标准差的初始值，该值能较好近似均匀噪声标准差的平均值。
非单例 IT2 模糊系统适合实时处理 ：非单例 IT2 模糊系统在调整的第一个周期几乎达到最优性能，表明与 T1 模糊系统相比，它们在实时信号处理中更具前景，因为实时处理通常不允许进行多个周期的调整。
IT2 模糊系统更鲁棒 ：RMSE 的标准差显示，IT2 模糊系统（尤其是 T1 和 IT2 非单例 IT2 模糊系统）的标准差远小于 T1 模糊系统，这表明 IT2 模糊系统对非平稳噪声更具鲁棒性，适用于自适应滤波器（如信道均衡器）。

3.4 流程图

graph LR
    A[问题背景分析] --> B[选择 IT2 非单例 IT2 模糊系统]
    B --> C[六周期基于导数的设计]
    C --> D[设计对比]
    C --> E[规则与隶属函数选择]
    C --> F[参数初始化]
    C --> G[性能评估]
    G --> H[性能分析]

4. 结论

通过对平稳和非平稳测量噪声下不同模糊系统在时间序列预测中的应用研究，可以得出以下结论：
- 在平稳测量噪声情况下，单例 IT2 模糊系统相对于 T1 模糊系统有显著性能提升，T1 非单例 IT2 模糊系统适用于实时自适应环境。
- 在非平稳测量噪声情况下，IT2 模糊系统（尤其是非单例 IT2 模糊系统）表现更优，具有更好的性能和对噪声的鲁棒性，在实时信号处理和自适应滤波器等领域具有广阔的应用前景。

5. 应用建议与操作步骤

5.1 平稳测量噪声下模糊系统的应用

5.1.1 单例 IT2 模糊系统预测器应用步骤

数据准备 ：收集 1000 个噪声数据点 $x(1001), x(1002), \cdots, x(2000)$，将前 504 个数据用于训练，后 496 个数据用于测试。确保无噪声的时间序列 $s(k)$ 被均匀分布的平稳加性噪声 $n(k)$ 干扰，且信噪比 $SNR = 0 dB$。
规则设置 ：设置预测 $x(k + 1)$ 的规则，包含四个前件 $x(k - 3), x(k - 2), x(k - 1), x(k)$，每个前件使用两个模糊集，共 16 条规则。
初始化参数 ：
- 设计最佳的单例和非单例 T1 模糊系统，使用它们的部分参数初始化单例 IT2 Mamdani 模糊系统。
- 计算训练样本数据的均值 $m_x$ 和标准差 $r_x$，设置四个前件的两个模糊集的均值不确定区间为 $[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 和 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$。
- 采用非单例 T1 模糊系统设计中输入标准差的最终调整结果作为加性噪声标准差 $r_n$。
- 从 T1 单例模糊系统设计中获得 $\bar{y}_i$，并将 $c_r(\tilde{G}_i)$ 和 $c_l(\tilde{G}_i)$ 初始分别选择为 $\bar{y}_i + r_n$ 和 $\bar{y}_i - r_n$。
参数调整 ：使用最速下降算法调整四个高斯主隶属函数的均值左右边界、标准差，以及每个后件 T2 模糊集质心的左右端点。每条规则调整 14 个参数，共 16 条规则，总计调整 224 个参数。学习参数 $b_h = 0.2$。
训练与测试 ：进行六个训练周期，每个周期后使用测试数据计算 $RMSE_{s2}(SD)$ 评估性能。重复该过程 50 次，得到 50 个 $RMSE_{s2}(SD)$ 值。

5.1.2 T1 非单例 IT2 模糊系统预测器应用步骤

保留参数 ：采用部分依赖方法，保留单例 IT2 模糊系统的所有参数。
初始化新参数 ：将非单例 T1 模糊系统设计的最终调整结果作为 $r_X$ 的初始值。
计算 RMSE ：使用公式 $RMSE_{ns2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{496} \sum_{k = 1504}^{1999} [s(k + 1) - y_{ns2 - 1}(x(k))]^2}$ 计算 RMSE，其中 $y_{ns2 - 1}$ 使用 (9.113), (9.112) 和 (9.111) 计算，点火区间使用 (9.51) 和 (9.52) 计算。
参数调整 ：使用最速下降算法仅调整 $r_X$，学习参数 $b_h = 0.2$。
训练与测试 ：进行六个训练周期，每个周期后使用测试数据计算 $RMSE_{ns2 - 1}(SD)$ 评估性能，重复 50 次。

5.2 非平稳测量噪声下模糊系统的应用

5.2.1 六周期基于导数的设计应用步骤

数据准备 ：收集 1000 个噪声数据点 $x(1001), x(1002), \cdots, x(2000)$，将前 1504 个数据用于训练，后 496 个数据用于测试。确保无噪声的时间序列 $s(k)$ 被均匀分布的非平稳加性噪声 $n(k)$ 干扰，$0 dB \leq SNR \leq 10 dB$，即 $r_{n0 dB} \leq r_n \leq r_{n10 dB}$。
规则设置 ：设置预测 $x(k + 1)$ 的规则，包含四个前件 $x(k - 3), x(k - 2), x(k - 1), x(k)$，每个前件使用两个模糊集，共 16 条规则。
隶属函数选择 ：两个 T1 模糊系统的前件选择高斯隶属函数，三个 IT2 模糊系统的前件选择均值不确定的高斯主隶属函数。T1 非单例情况下输入测量选择高斯隶属函数，IT2 非单例情况下输入测量选择标准差不确定的高斯主隶属函数。
参数初始化 ：根据不同模糊系统，按照以下表格进行参数初始化：
| 模糊系统 | 输入 | 每个前件 | 后件 |
| — | — | — | — |
| 单例 T1 | NA | 均值：$m_x - 2r_x$ 或 $m_x + 2r_x$，$r_{F_i}^k = 2r_x$ | $\bar{y} i \in [0, 1]$ |
| 非单例 T1 | $r {X_k} = r_n$ | 均值：$m_x - 2r_x$ 或 $m_x + 2r_x$，$r_{F_i}^k = 2r_x$ | $\bar{y} i \in [0, 1]$ |
| 单例 IT2 | NA | 均值：$[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 或 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$，$r_i^k = 2r_x$ | $y_i^l = \bar{y}_i - r_n$，$y_i^r = \bar{y}_i + r_n$ |
| T1 非单例 IT2 | $r {X_k} = r_n$ | 均值：$[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 或 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$，$r_i^k = 2r_x$ | $y_i^l = \bar{y} i - r_n$，$y_i^r = \bar{y}_i + r_n$ |
| IT2 非单例 IT2 | $r {k1} = \hat{r} {n10 dB}$，$r {k2} = \hat{r}_{n0 dB}$ | 均值：$[m_x - 2r_x - 0.25r_n, m_x - 2r_x + 0.25r_n]$ 或 $[m_x + 2r_x - 0.25r_n, m_x + 2r_x + 0.25r_n]$，$r_i^k = 2r_x$ | $y_i^l = \bar{y}_i - r_n$，$y_i^r = \bar{y}_i + r_n$ |
性能评估 ：使用相应的 RMSE 公式评估性能，每个模糊系统使用最速下降算法调整，学习参数 $b_h = 0.4$，进行六个训练周期，每个周期后使用测试数据计算相应的 RMSE，重复 50 次。

6. 未来研究方向

6.1 算法优化

虽然最速下降算法在本文的模糊系统设计中取得了一定的效果，但可以进一步探索其他优化算法，如遗传算法、粒子群算法等，以提高模糊系统的性能和收敛速度。

6.2 多变量时间序列预测

本文主要研究了单变量时间序列的预测问题，未来可以将研究扩展到多变量时间序列的预测，考虑多个变量之间的相互关系，提高预测的准确性。

6.3 与其他技术的融合

可以将模糊系统与深度学习、机器学习等其他技术相结合，充分发挥各自的优势，进一步提升时间序列预测的性能。例如，使用深度学习模型提取时间序列的特征，然后将特征输入到模糊系统中进行预测。

6.4 实际应用拓展

将研究成果应用到更多的实际领域，如金融市场预测、气象预报、工业生产过程监控等，验证其在不同场景下的有效性和实用性。

7. 总结

本文围绕时间序列预测中的模糊系统设计展开研究，分别探讨了平稳和非平稳测量噪声下不同模糊系统的性能表现。通过对单例 IT2 模糊系统、T1 非单例 IT2 模糊系统等多种模糊系统的设计和分析，得出以下关键结论：
- 在平稳测量噪声下，单例 IT2 模糊系统能显著提升预测性能，T1 非单例 IT2 模糊系统适用于实时自适应环境。
- 在非平稳测量噪声下，IT2 模糊系统（尤其是非单例 IT2 模糊系统）具有更好的性能和对噪声的鲁棒性，在实时信号处理和自适应滤波器等领域具有广阔的应用前景。

同时，本文还提供了不同模糊系统在平稳和非平稳测量噪声下的应用建议和操作步骤，为实际应用提供了指导。未来的研究可以从算法优化、多变量时间序列预测、与其他技术融合以及实际应用拓展等方面展开，进一步推动时间序列预测技术的发展。