14、博弈论中的扩展式博弈与均衡计算

博弈论中的扩展式博弈与均衡计算

1. 纳什均衡计算的历史与资源

在博弈论中，寻找样本纳什均衡的复杂度是众多研究的焦点。早期，TFNP 类的原始定义被提出，它是 PPAD 的超类，随后 PPAD 类也被定义。后续研究表明，寻找任意固定数量玩家游戏的均衡并不比寻找四人游戏的均衡更难，且这些计算问题是 PPAD 完全的，甚至很快将结果扩展到两人游戏。对于具有特定属性的纳什均衡，有相关的 NP 完全性结果和不可近似性结果。

经典的计算两人游戏纳什均衡的算法有很多，例如 Lemke - Howson 算法，它可看作是 Lemke 解决线性互补问题的枢轴程序的特例；Scarf 的基于单纯形细分的算法；基于同伦的近似方法等。

此外，还有两个重要的在线资源：
- GAMBIT：一个用于有限正规形式和扩展形式游戏的博弈论算法库，包含多种寻找纳什均衡的算法，适用于一般和、n 玩家游戏，以及两人游戏、零和游戏等特殊情况。其网址为 http://econweb.tamu.edu/gambit 。
- GAMUT：一套用于测试博弈论算法的游戏生成器。其网址为 http://gamut.stanford.edu 。

2. 扩展式博弈概述

以往我们常假设游戏以正规形式表示，即类似一个大表格。正规形式概念简单，被认为是基础的，且所有有限游戏都有对应的“诱导正规形式”，从这个意义上说，正规形式表示具有普遍性。

而扩展式博弈是一种有限表示，它不总是假设玩家同时行动。这种表示通常比其诱导正规形式指数级更小，且更便于推理。虽然扩展式博弈的纳什均衡可通过其诱导正规形式找到，但直接处理扩展形式能带来计算上的好处。此外，还有一些解决方案概念，