9、正规形式博弈的其他解概念

正规形式博弈的其他解概念

在博弈论中，除了纳什均衡这一重要的解概念外，还有许多其他的解概念。这些解概念在不同的情境下有着各自的应用和意义，下面将详细介绍几种常见的解概念。

1. 最大最小和最小最大策略

• 最大最小策略和最大最小值
  • 最大最小策略是指在一个 $n$ 人一般和博弈中，玩家 $i$ 的一种（不一定唯一，通常为混合）策略，该策略能最大化玩家 $i$ 在最坏情况下的收益。即当其他所有玩家都采取对玩家 $i$ 造成最大伤害的策略时，玩家 $i$ 所能获得的最小收益。最大最小值（或安全水平）则是最大最小策略所保证的最小收益。
  • 形式化定义为：玩家 $i$ 的最大最小策略是 $\arg \max_{s_i} \min_{s_{-i}} u_i(s_i, s_{-i})$，最大最小值是 $\max_{s_i} \min_{s_{-i}} u_i(s_i, s_{-i})$。
  • 以“性别大战”游戏为例，每个玩家的最大最小值是 $2/3$，并且需要采取混合策略。最大最小策略对于保守的玩家来说是一个明智的选择，因为即使其他玩家的行为是任意的，玩家 $i$ 仍然能获得至少等于其最大最小值的期望收益。
• 最小最大策略和最小最大值
  • 在两人博弈中，玩家 $i$ 针对玩家 $-i$ 的最小最大策略是一种能使玩家 $-i$ 的最大收益保持最小的策略，玩家 $-i$ 的最小最大值就是这个最小值。在 $n$ 人博弈（$n > 2$）中，定义玩家 $i$ 针对玩家 $j$