5、分布式优化中的拍卖算法：从分配问题到调度问题

分布式优化中的拍卖算法：从分配问题到调度问题

在分布式优化领域，我们常常会遇到各种经典的优化问题。本文将聚焦于两个典型问题：一个可表示为线性规划（LP）的分配问题，另一个只能表示为整数规划（IP）的调度问题，并探讨基于拍卖的解决方案。

1. 分配问题与线性规划

1.1 问题定义与线性规划表述

分配问题是指在二分图中进行加权匹配的问题。具体来说，一个对称的分配问题包含以下要素：
- 一组 $n$ 个代理的集合 $N$。
- 一组 $n$ 个对象的集合 $X$。
- 可能的分配对集合 $M \subseteq N \times X$。
- 一个函数 $v: M \to R$，给出每个分配对的价值。

一个分配是集合 $S \subseteq M$ 中的一组对，使得每个代理 $i \in N$ 和每个对象 $j \in X$ 最多出现在 $S$ 中的一个对中。可行分配是指所有代理都被分配到一个对象的分配。如果一个可行分配 $S$ 最大化了 $\sum_{(i,j) \in S} v(i, j)$，则它是最优分配。

例如，给定 $X = {x_1, x_2, x_3}$ 和 $N = {1, 2, 3}$，其价值矩阵如下：
| $i$ | $v(i, x_1)$ | $v(i, x_2)$ | $v(i, x_3)$ |
| — | — | — | — |
| 1 | 2 | 4 | 0 |
| 2 | 1 | 5 | 0 |
| 3 | 1 | 3 | 2 |

在这个小例子中，很容易看出 $(1, x_1), (2, x_2), (3,