38、几何算法：从基础到应用

几何算法：从基础到应用

1. 几何算法概述

几何算法用于解决计算几何中的问题。计算几何是数学的一个领域，主要进行与几何对象（如点、线、多边形等）相关的计算。计算几何问题的一个有趣特点是，很多问题具有明显的视觉特征，有些问题通过观察其可视化表示就能找到解决方案，但在计算机计算中，即使是看似简单的问题，找到解决方案也可能具有挑战性。

常见的几何算法有：
- 测试线段是否相交
- 计算凸包
- 计算球面上的弧长

几何算法的应用也十分广泛，包括但不限于以下方面：
|应用场景|具体描述|
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|最远点对问题|确定一组点中哪两个点相距最远，可先计算凸包以减少比较的点对数量|
|近似地球距离|利用球面上的弧长计算，但由于地球是椭球体，结果只是近似值|
|限制区域|军事组织定义的禁飞区等，通过测试航迹线段与区域边界线段是否相交来判断是否违规|
|物理围栏|构建包围多个物体的结构时，可将物体建模为点并计算凸包以使用最少材料|
|机器人技术|机器人利用几何算法进行视觉和控制，如避障和识别位置|
|地图信息系统|处理地理数据，如计算系统中两个地理点之间的距离|
|虚拟现实系统|飞行模拟器、建筑可视化系统和分子建模系统等使用涉及几何算法的计算机图形|

2. 测试线段是否相交

在计算几何中，判断两条线段是否相交是一个基本问题。线段是有起点和终点的线，其端点定义了线段的范围。

2.1 直线的表示

直线的一种表示形式是点截式，即 $y = mx + b$，其中 $m$ 是直线的