8、路径积分：从量子力学到场论的探索

路径积分：从量子力学到场论的探索

1. 路径积分方法概述

路径积分方法最初由R Feynman提出，用于重写量子演化。它将量子演化表示为连接初始位置 $x_i$ 和最终位置 $x_f$ 的所有路径的总和，每个路径的权重为 $e^{iS/\hbar}$，其中 $S$ 是对应于该路径的作用量。最终结果可以表示为以下形式的方程：
[
\langle x_f | e^{-i(t_f - t_i)\hat{H}/\hbar} | x_i \rangle = \int_{x_i \to x_f} \mathcal{D}[x] e^{iS[x]/\hbar}
]
其中，$\int_{x_i \to x_f} \mathcal{D}[x]$ 表示对所有路径的求和。

为了近似这个路径求和，可以将演化算符表示为 $N_t$ 个短时间演化的乘积，每个时间步长为 $\Delta t = \frac{t_f - t_i}{N_t}$：
[
e^{-i(t_f - t_i)\hat{H}/\hbar} = (e^{-i\Delta t\hat{H}/\hbar})^{N_t}
]
然后在每个连续步骤之间插入单位算符 $\int dx |x \rangle \langle x|$，得到：
[
\langle x_f | e^{-i(t_f - t_i)\hat{H}/\hbar} | x_i \rangle = \int \cdots \int dx_1 \cdots dx_{N_t - 1} \langle x_f | e^{-i\Delta t\hat{H}/\hbar} | x_{N_t - 1} \rangle \cdot