3、经典场论：从基础到应用

经典场论：从基础到应用

1. 经典作用量、运动方程与对称性

1.1 经典作用量原理

在经典物理学中，标准模型的预测能力与我们限制作用量项数的能力相关。最小作用量原理在理论物理中十分重要，通过寻找作用量的极值可以得到运动方程，这些方程明确地定义了系统的时间演化。同时，作用量在连续对称性下的不变性使我们能够确定守恒量，这由诺特定理保证。

考虑具有 $N$ 个坐标 $q_j$（$j = 1, \cdots, N$）的经典力学系统，其作用量为：
[S = \int_{t_i}^{t_f} dt L(q_j, \dot{q} j)]
假设作用量 $S$ 没有显式的时间依赖。对作用量进行变分：
[\delta S = \int {t_i}^{t_f} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_j} \delta q_j + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \delta \dot{q}_j\right)]
将被积函数改写后，若假设在 $t_i$ 和 $t_f$ 处 $\delta q_j = 0$ 且要求 $\delta S = 0$，可得到 $N$ 个欧拉 - 拉格朗日方程：
[\frac{\partial L}{\partial q_j} - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} = 0]

1.2 对称性与守恒量

考虑对应于问题对称性的特殊变分。当 $\delta q_j$ 使拉格朗日量 $L$ 以及作用量 $S$ 保持不变时，这定