2、多目标粒子群优化器入门

多目标粒子群优化器入门

1. 引言

在现实世界中，广泛存在着一类需要同时优化两个或多个（通常相互冲突）目标的问题，这类问题被称为多目标优化问题。解决这类问题需要寻找能在所有目标间达成最佳折衷的解决方案。

粒子群优化算法（PSO）是一种受生物启发的元启发式算法，它模拟了鸟群或鱼群寻找食物的运动。相较于进化算法，PSO相对简单，这使其成为一种流行的优化方法，并且是扩展用于多目标优化的理想候选算法。

2. 基本概念

我们关注的多目标优化问题（MOP）通常具有以下形式：
- 最小化 ( f(x) := [f_1(x), f_2(x), \ldots, f_k(x)] )
- 约束条件：
- ( g_i(x) \leq 0 )，( i = 1, 2, \ldots, m )
- ( h_i(x) = 0 )，( i = 1, 2, \ldots, p )

其中，( x = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^T ) 是决策变量向量，( f_i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} ) 是目标函数，( g_i, h_j : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} ) 是约束函数。

下面是一些重要定义：
- 支配关系 ：给定两个向量 ( x, y \in \mathbb{R}^k )，若 ( x_i \leq y_i ) 对于 ( i = 1, \ldots, k ) 成立，且 ( x \neq y )，则称 ( x ) 支配 ( y )，记为 ( x \prec y )。
-