题解 Codeforces div4 压轴题合集

题解 CodeForces div4 压轴题合集

1. Round #640 G - Special Permutation

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显然可以构造类似 $\text{1,4,2,5,3,6,9,7,10,8,...}$ 这样的序列循环，然后特判末 $5$ 至 $9$ 位。

但是有一种更简单的方法（后来想的，没写代码）：$\text{1,3,5,...,n-1,n-4,n,n-2,n-6,n-8,n-10,...,2}$

2. Round #784 H - Maximal AND

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记录每个二进制位出现过几次，优先填最高位。

3. Round #790 H2 - Maximum Crossings (Hard Version)

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每读入一个 $a_i$，用树状数组查询 $[a_i,n]$ 的总和，并令第 $a_i$ 位 $+1$。

4. Round #799 H - Gambling

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首先，题意可以转化为：

求一个区间 $[l,r]$，一个数 $a$，使得 $\sum _{i=l}^r[x_i=a]-\sum _{i=l}^r[x_i\ne a]$ 最大。若有多组解输出任意一组。

那么首先考虑确定 $a$，那么把原序列等于 $a$ 的数改为 $1$，不等于 $a$ 的数改为 $-1$，就变成了一个最大子段和问题，可以 $O(n)$ dp 求解。

如果枚举 $a$ 呢？那么这题的复杂度就是 $O(n^2)$，过不了。

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怎么优化呢？在 dp 求解最大子段和的过程，我们可以把连续的 $-1$ 段合并为一个数，这样只用在出现 $1$ 的时候进行 dp。对于下标 $i$，在所有 $a$ 中必然只会存在一个 $1$，即 $a=x_i$ 的情况。所以我们只会 dp $n$ 次。复杂度降至 $O(n)$。

设 $l{s}_i$ 表示使 $k<i,x_k=x_i$ 的最大的 $k$，则状态转移方程为：

$$f_i=\max (f_{l{s}_i}-(i-l{s}_i-1),0)+1$$

输出方案的话可以记录下 $f_i$ 是从哪个地方转移过来的。具体可以参考代码。

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求解 $l{s}_i$ 也很简单，在读入时用 map 预处理一下即可，复杂度 $O(n\log n)$。所以总复杂度也为 $O(n\log n)$。

5. Round #806 G

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可以很快的写出一个 $O(n^2)$ 的 dp，但是没啥用。

发现性质：最优解必定是用好钥匙开前面多少个箱，其它用坏钥匙开。即不存在一个使用好钥匙开的箱子，前面有箱子用坏钥匙开。

然后计算出一个 $g$ 数组，$g_i$ 表示第 $i\sim n$ 号箱子全都用坏钥匙开能获得的金币数。答案即为：

$$\underset{i=0}{\overset{n}{\max }}\left(\sum _{j=1}^i{a}_j+g_{i+1}\right)$$

6. Round #817 G

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首先，因为 $a\mathrm{xor}0=a$，所以对于奇数的情况，可以转换为偶数的情况再在后面加一个 $0$。

可以发现，$a\mathrm{xor}(2^k-1-a)=2^k-1$，因为 $a$ 和 $2^k-1-a$ 在二进制位下的每一位都不同。所以我们设 $p=2^{28}-1$（这里的指数可以改成别的数，但尽量大一些），构造序列 $1,2,p-1,p-2,3,4,p-3,p-4,...$ 即可。

若序列的长度不是 $4$ 的倍数，序列末尾还空出了两个，怎么办？可以放两个相等的数，然后第一个加上个 $2^{30}-1$，再让序列的第二个元素也加上 $2^{30}-1$ 即可（这里的指数也是可以改的）。

程序的大致思路和本文相似，但是细节方面有些不同。