题解 [AcWing97]约数之和（A^B约数和%P）

最新推荐文章于 2023-07-04 15:33:21 发布

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这篇博客介绍了如何利用约数和公式与等比数列求和公式解决[A^B]的约数之和模P的问题。通过分解A的质因数，结合快速幂与模运算，分析了当质数p不整除pi-1时的处理方法，并给出了具体的代码逻辑来计算结果。

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Step 1.

设 $S=A^B$ 的约数和。

约数和公式：
设 $a=\sum\limits_{i=1}^n p_i^{k_i}$ （ $p_i\in\Bbb{P},k_i\in\Bbb{Z^+}$ ），即对 $a$ 分解素因数，
则 $a$ 的约数和 $=\prod\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^{k_i}p_i^j=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{k_1})(1+p_2+p_2^2+...+p_2^{k_2})...(1+p_i+p_i^2+...+p_i^{k_i})$ 。

设 $A=\sum\limits_{i=1}^n p_i^{k_i}$ （ $p_i\in\Bbb{P},k_i\in\Bbb{Z^+}$ ），即对 $A$ 分解素因数。

$\begin{aligned} S=\prod\limits_{i=1}^n(1+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{k_i\cdot B}) \end{aligned}$

Step 2.

可以发现这个东西是个等比数列。

等比数列求和公式：
设等比数列 $\{a_1,a_2,...\},\frac{a_i}{a_i-1}=q$ ，
则 $\sum\limits_{i=1}^n=a_1\times\displaystyle\frac{q^n-1}{q-1}$ 。

$\begin{aligned} S&=\prod\limits_{i=1}^n(1+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{k_i\cdot B})\\&=\prod\limits_{i=1}^n\displaystyle\frac{p_i^{k_i\cdot B+1}-1}{p_i-1} \\&\equiv\prod\limits_{i=1}^n\displaystyle\frac{p_i^{k_i\cdot B+1}-1}{p_i-1}\quad(\bmod~p) \end{aligned}$

Step 3.

柿子推好了，接下来是计算。分子简单，快速幂一下就行。分母呢？如果 $p_i-1$ 与 $p$ 互素，可以算逆元，但如果两数不互素怎么办？

如果两数不互素，因为 $p$ 是质数，所以两数的 $\gcd$ 只能是 $p$ ，所以 $p|p_i-1$ ，此时：
$p_i\equiv1(\bmod~p)$

这不就简单多了吗？直接带到 $1+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{k_i\cdot B}$ 中去：
$\begin{aligned} 1+p_i^1+p_i^2+...+p_i^{k_i\cdot B}&\equiv1+1+1+...+1\\&\equiv k_i\times B+1\quad(\bmod~p) \end{aligned}$

Step 4.

代码逻辑：

对 $A$ 分解质因数， $A=\sum\limits_{i=1}^n p_i^{k_i}$ ;
对于每个 $p_i$ ，若 $p_i\equiv1(\bmod~p)$ ，算出 $k_i\times B+1\bmod p$ ；否则算出 $p_i^{k_i\cdot B+1}-1\bmod p$ 和 $p_i-1$ 在膜 $p$ 意义下的乘法逆元，带入柿子算算就行。

记得 long long。

//acwing97
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N = 1000, mod = 9901;
ll p[N], k[N], cnt, ans = 1;

ll qpow(ll a, ll b){
	ll ans = 1;
	while(b){
		if(b&1) ans = ans * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll inv(ll a){
	return qpow(a, mod-2);
}

int main(){
	ll a, b;
	scanf("%lld%lld", &a, &b);
	
	ll tmp = a;
	for(ll i = 2; i <= a; ++ i)
		if(tmp % i == 0){
			p[++cnt] = i;
			while(tmp % i == 0) tmp /= i, ++ k[cnt];
		}
	if(tmp > 1) p[++cnt] = tmp, k[cnt] = 1;
// 	for(int i = 1; i <= cnt; ++ i) printf("%d %d\n", p[i], k[i]);

	for(int i = 1; i <= cnt; ++ i)
		if(p[i] % mod == 1) ans = ans * (k[i]*b + 1) % mod;
		else ans = ans * (qpow(p[i], k[i]*b+1)+mod-1) % mod * inv(p[i]-1) % mod;
    
    if(a == 0) ans = 0;
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}