【ACWing】870. 约数个数

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/872/

给定$n$个正整数$a_i$，求它们乘积的约数个数。答案对$10^9+7$取模。

输入格式：
第一行包含整数$n$。接下来$n$行，每行包含一个整数$a_i$。

输出格式：
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对$10^9+7$取模。

数据范围：
$1\le n\le 100$
$1\le a_i\le 2\times 10^9$

对于一个数$x$，若其质因子分解是$x=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}...p_k^{{\alpha }_k}$，那么$x$的约数个数是$({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)...({\alpha }_k+1)$。所以我们可以统计每个$a_i$的各个质因子个数，最后按照上面公式求乘积的约数个数。代码如下：

#include <iostream>
#include <unordered_map>
using namespace std;

const int MOD = 1e9 + 7;
unordered_map<int, int> mp;

void divide(int n) {
  for (int i = 2; i <= n / i; i++) {
    if (n % i == 0)
      while (n % i == 0) {
        mp[i]++;
        n /= i;
      }
  }

  if (n >= 2) mp[n]++;
}

int main() {
  int n;
  cin >> n;
  while (n--) {
    int x;
    cin >> x;

    divide(x);
  }

  long res = 1;
  for (auto p : mp) res = res * (p.second + 1) % MOD;
  printf("%ld\n", res);
}

时间复杂度$O(\sum {\sum }_i{\alpha }_i)$，空间$O(k)$，$k$为不同质因子总个数。