题解 [JSOI2016][LuoguP4322]最佳团体

本文介绍了如何利用分数规划解决最佳团体选择问题,该问题涉及到一棵树上节点的权重优化。通过二分查找和树形背包技术,找到最大化节点权重比的最优解。文章首先解释了分数规划的基本概念,然后详细阐述了如何将其应用于树形结构,并给出了具体的算法实现,包括O(n^2m)和O(n+nm)两种解法。最后,将问题转化为01分数规划,结合树形背包,实现了复杂度为O(nklogval)的解决方案。

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题解 [JSOI2016][LuoguP4322]最佳团体

题目链接

前置:分数规划

参考:https://oi-wiki.org/misc/frac-programming/

分数规划用来求一个分式的极值:给出 a i , b i a_i,b_i ai,bi,求一组 w i ∈ { 0 , 1 } w_i\in\{0,1\} wi{0,1} 使 ∑ i = 1 n a i w i ∑ i = 1 n b i w i \displaystyle\frac{\sum_{i=1}^n a_iw_i}{\sum_{i=1}^n b_iw_i} i=1nbiwii=1naiwi 最小化或最大化,再加上一些奇怪的限制。

二分求解

最大值:二分一个答案 m i d mid mid,则:

∑ i = 1 n a i w i ∑ i = 1 n b i w i > m i d    ⟹    ∑ i = 1 n a i w i − m i d × ∑ i = 1 n b i w i > 0    ⟹    ∑ i = 1 n w i ( a i − m i d × b i ) > 0 \displaystyle\frac{\sum_{i=1}^n a_iw_i}{\sum_{i=1}^n b_iw_i}>mid \\ \implies\sum_{i=1}^n a_iw_i - mid \times\sum_{i=1}^n b_iw_i>0 \\ \implies\sum_{i=1}^nw_i(a_i-mid \times b_i) > 0 i=1nbiwii=1naiwi>midi=1naiwimid×i=1nbiwi>0i=1nwi(aimid×bi)>0

之后求 ∑ i = 1 n w i ( a i − m i d × b i ) \sum_{i=1}^nw_i(a_i-mid \times b_i) i=1nwi(aimid×bi) 的最大值就行了。(比 0 0 0 大则 m i d mid mid 可行)

最小值同理,求求 ∑ i = 1 n w i ( a i − m i d × b i ) \sum_{i=1}^nw_i(a_i-mid \times b_i) i=1nwi(aimid×bi) 的最小值。

例题

给出 a i , b i a_i,b_i ai,bi,求一组 w i ∈ { 0 , 1 } w_i\in\{0,1\} wi{0,1} 使 ∑ i = 1 n a i w i ∑ i = 1 n b i w i \displaystyle\frac{\sum_{i=1}^n a_iw_i}{\sum_{i=1}^n b_iw_i} i=1nbiwii=1naiwi 最大化。

w i ( a i − m i d × b i ) w_i(a_i-mid \times b_i) wi(aimid×bi) 作为第 i i i 个物品的权值,选择所有 > 0 >0 >0 的物品。

const int N = 1e5 + 10;
const double eps = 1e-6;
int n; double a[N], b[N];

bool check(double mid){
	double res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
		if(a[i] - mid * b[i] > 0) s += a[i] - mid * b[i];
	return s > 0;
}
double solve(){
	double l = 0, r = 1e9;
	while(l + eps < r){
		double mid = (l + r) / 2;
		if(check(mid)) l = mid; else r = mid;
	}
	return l;
}

前置:树形依赖背包

O ( n 2 m ) O(n^2m) O(n2m)

状态 F [ x , t ] F[x,t] F[x,t]:在以 x x x 为根的子树中选 t t t 个物品的最大收益。

技巧:如有多个节点为根,新建超级根 0 0 0

转移方程: F [ x , t ] = max ⁡ ∑ i = 1 p   c i = t − 1 { ∑ i = 1 p F [ y i , c i ] } + W e i x F[x,t]=\max\limits_{\sum_{i=1}^p~c_i=t-1} \bigg\{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^pF[y_i,c_i]\bigg\}+Wei_x F[x,t]=i=1p ci=t1max{i=1pF[yi,ci]}+Weix

const int N = 310;
int n, m, Wei[N], dp[N][N];//总物品数、选择物品数、物品重量、DP数组
vector<int> Edge[N];//图
void dfs(int x){
	dp[x][0] = 0;
	for(int i = 0; i < Edge[x].size(); ++ i){
		int y = Edge[x][i];
		dfs(y);
		for(int t = m; t >= 0; -- t)//当前背包体积
			for(int j = 0; j <= t; ++ j)//组内物品
				dp[x][t] = max(dp[x][t], dp[x][t-j] + dp[y][j]);
	}
	if(x)//超级根 0 不用占物品数
		for(int t = m; t > 0; -- t)
			dp[x][t] = dp[x][t-1] + Wei[x];
	return ;
}

O ( n + n m ) O(n+nm) O(n+nm)

把节点重新编号,使得每棵子树的编号最大的节点为它的根。使用后序遍历解决。

void dfs(int x){
	siz[x] = 1;
	for(int i = 0; i < g[x].size(); ++ i){
		int y = g[x][i]; dfs(y);
		siz[x] += siz[y];
	}
	pos[++cnt] = x;//pos[x]为新编号 x 的节点在原来的编号
}

然后按着编号顺序 dp 即可。dp 到一个节点,其子节点已经都被 dp 过了。

for(int i = 1; i <= cnt; ++ i)
		for(int j = 1; j <= k; ++ j)
			f[i][j] = max(f[i-1][j-1]+val[pos[i]], f[i-siz[pos[i]]][j]);

正文

JSOI2016]最佳团体

给你一棵树,每个节点有 a i , b i a_i,b_i ai,bi,选择 k k k 个节点使得 ∑ i = 1 k a i ∑ i = 1 k b i \displaystyle\frac{\sum_{i=1}^k a_i}{\sum_{i=1}^k b_i} i=1kbii=1kai 最大化。要求此 k k k 个节点组成一棵树,且根节点为 0 0 0,边方向与原树相同。

1 ≤ n , k ≤ 2500 1\leq n,k \leq 2500 1n,k2500

转化为 01 分数规划。令 a i − m i d × b i a_i-mid\times b_i aimid×bi 为每个点权值,跑树形背包即可。

这里可以使用预处理时间戳的树形背包,复杂度做到 O ( n k log ⁡ v a l ) O(nk\log val) O(nklogval)

const int N = 2510;
int k, n, siz[N], pos[N], cnt;
double f[N][N], val[N];
pair<int, int> p[N];
vector<int> g[N]; 

void dfs(int x){
	siz[x] = 1;
	for(int i = 0; i < g[x].size(); ++ i){
		int y = g[x][i]; dfs(y);
		siz[x] += siz[y];
	}
	pos[cnt] = x;
}
bool check(double mid){
	for(int i = 0; i <= cnt; ++ i)
		for(int j = 1; j <= k; ++ j) f[i][j] = -1e9;
	for(int i = 1; i <= n; ++ i)
		val[i] = (double) p[i].first - mid * p[i].second;
	for(int i = 1; i <= cnt; ++ i)
		for(int j = 1; j <= k; ++ j)
			f[i][j] = max(f[i-1][j-1]+val[pos[i]], f[i-siz[pos[i]]][j]);
	return f[cnt][k] > 0;//用cnt,不能用n(因为n不包括节点0)
}
double solve(){
	dfs(0); ++ k;
	double l = 0, r = 1e5;
	while(l + 1e-5 <= r){
		double mid = (l + r) / 2;
		if(check(mid)) l = mid; else r = mid;
	}
	return l;
}
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