P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）

题目给出N个点和m个查询，每次查询对n个点添加或者删除边，但是要保证在联通的情况下，因此无论怎么操作，他都保证是一棵树。

 

LCT 处理一棵树上的边的添加和删除。

LCT把一棵树分成很多条链，每一条链使用splay来维护，splay之间相关连接。 splay使用这条链上的节点的深度来维护。

每当需要查询x到y的路径时，通过access操作，把x和y这条路径组成一棵新的splay，其他点则变成自己独立的splay。这个splay就可以做树dp来统计路径上的信息。

 

Access(x)

将x变成所在的splay的root，然后挂在他父节点上（父节点是所在splay的根)。

由于splay维护的是树的深度，每次splay(x)都会把比当前节点深度大的节点断开，连接上另外一棵树，行程新的链。最后得出一条从根节点到x的splay。

void access(int x){
    int y = 0;
    while(x){
		splay(x); son[x][1] = y; y = x;
		pushup(x);
        x = f[x];
	}
}

MakeRoot(x)

使x变成整个树的根。

先Access(x)使得根和x在同一条链上，然后splay(x)把x转到根。由于Access(x)是形成一条根到x的链，x为最大深度，因此需要把splay的每一个节点的左右儿子互换，翻转整个树。互换儿子只是打标记，儿子操作在pushdown的时候带下去。

void make_root(int x){
    access(x);
    splay(x);
    switch_son(x);
}

Splay(x)

Splay 之前需要把从根到当前节点的信息都pushdown下来。

然后就是不断的转了。转的时候要父和父父节点，如果父节点不是根，则转一次，然后再转x。

void splay(int x){
	//push down first
	int y = x;
	stack<int> st;
	st.push(y);
	while(!isroot(y)) st.push(f[y]),y=f[y];
	while(!st.empty()) {
		pushdown(st.top()),st.pop();
	}

	while(!isroot(x)){
		int y = f[x];
		int z = f[y];
		if(!isroot(y)){
			rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
	pushup(x);
}

Link(x,y)

连接x和y。 先把x变成root（每次操作都要先变成root），然后判断一下y的根是不是x。如果已经是了那么已经连通，不是就直接把父亲指向他。

void link(int x, int y){
	make_root(x);
	if(findroot(y)==x)return;
	f[x] = y;
}

Cut(x,y)

把两个点之间的边断开。首先把x变成root，然后access(y)把x和y放到同一棵splay上。由于access的时候x不是根了，所以再做一次splay。(x不是根了，y的父节点可能就不是x了吗，所以要先把x换成根）

然后判断y的父节点是不是x，y的左还是还有没其他节点（有的话说明x和y之间有其他节点，深度在x和y之间）

void cut(int x, int y){
	make_root(x);
    access(y);
//	if(findroot(y)!=x) return;
    splay(x);
    if(f[y] != x || son[y][0]) return; //very tricky

	f[y] = 0;
	son[x][1] =0;
	pushup(x);
}

查询(x,y)之间的异或和

把x变成root，然后access(y)放到一条链上，splay(y)做一次从y到x的值的更新。

注意这个splay只包含x到y路径上的点，因此最后根的值就是整个树的值。

int query(int x, int y){
	make_root(x);
	access(y);
	splay(y);
	return sum[y];
}

修改(x）的值为y

把x转到根,因为不能修改中间。如果查询的时候splay没有动过，则根节点的值不会被更新。

void modify(int x, int v){
	splay(x);
	a[x] = v;
	pushup(x);
}

 

 

完整代码

int son[N][2], f[N];
int sum[N],r[N];
int a[N];
int n,m;

void pushup(int x){
	sum[x] = sum[son[x][0]] ^ sum[son[x][1]] ^ a[x];
}

void switch_son(int x){
	int t = son[x][0]; son[x][0] = son[x][1];son[x][1] = t;
	r[x]^=1;
}

void pushdown(int x){
	if(r[x]){
		switch_son(son[x][0]);
		switch_son(son[x][1]);
		r[x] = 0;
	}
}

bool isroot(int x){
	return !(son[f[x]][0]==x || son[f[x]][1]==x);
}

void rotate(int x){
	int y = f[x], z = f[y];
	if(!isroot(y)){
		son[z][son[z][1]==y] = x;
	}
	int p = son[y][1]==x;
	int t = son[x][!p];
	son[x][!p] = y;
	son[y][p] = t;
	f[x] = z; f[y] = x; if(t)f[t] = y;
	pushup(y);
}

void splay(int x){
	//push down first
	int y = x;
	stack<int> st;
	st.push(y);
	while(!isroot(y)) st.push(f[y]),y=f[y];
	while(!st.empty()) {
		pushdown(st.top()),st.pop();
	}

	while(!isroot(x)){
		int y = f[x]; 
		int z = f[y];
		if(!isroot(y)){
			rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
	pushup(x);
}

// a chain from root to node x.
void access(int x){
    int y = 0;
    while(x){
		splay(x); son[x][1] = y; y = x;
		pushup(x);
        x = f[x];
	}
}

int findroot(int x){
	int xx =x;
	access(x);
	splay(x);
	while(son[x][0]) {
		pushdown(x);
		x = son[x][0];
	}
	return x;
}

void make_root(int x){
	access(x);
	splay(x);
	switch_son(x);
}

void link(int x, int y){
	make_root(x);
	if(findroot(y)==x)return;
	f[x] = y;
}

void cut(int x, int y){
	make_root(x);
    access(y);
//	if(findroot(y)!=x) return;
    splay(x);
    if(f[y] != x || son[y][0]) return; //very tricky

	f[y] = 0;
	son[x][1] =0;
	pushup(x);
}

int query(int x, int y){
	make_root(x);
	access(y);
	splay(y);
	return sum[y];
}

void modify(int x, int v){
	splay(x);
	a[x] = v;	
	pushup(x);
}

int main(){
	sf("%d%d",&n,&m);
	fr(i,1,n+1)sf("%d",&a[i]);
	fr(i,0,m){
		int op,x,y;
		sf("%d%d%d",&op,&x,&y);
		if(op==0){
			pf("%d\n",query(x,y));
		}
		else if(op==1){
			link(x,y);
		}
		else if(op==2){
			cut(x,y);
		}
		else {
			modify(x,y);
		}
	}
}