深度学习之激活函数

 

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要了解什么是激活函数，首先要了解神经网络模型的基本工作原理。

所谓激活函数（Activation Function），就是在人工神经网络的神经元上运行的函数，负责将神经元的输入映射到输出端。信号从一个神经元进入，经过非线性的激活函数，传入到下一层神经元；再经过该层神经元的激活，继续往下传递，如此循环往复，直到输出层。正是由于这些非线性函数的反复叠加，才使得神经网络有足够的capacity来抓取复杂的pattern，在各个领域取得state-of-the-art的结果。显而易见，激活函数在深度学习中举足轻重，也是很活跃的研究领域之一。

1|2作用

激活函数的主要作用是提供网络的非线性建模能力。如果没有激活函数，那么该网络仅能够表达线性映射，此时即便有再多的隐藏层，其整个网络跟单层神经网络也是等价的。因此也可以认为，只有加入了激活函数之后，深度神经网络才具备了分层的非线性映射学习能力。 那么激活函数应该具有什么样的性质呢？

1|3性质

• 可微性： 当优化方法是基于梯度的时候，这个性质是必须的。 
• 单调性： 当激活函数是单调的时候，单层网络能够保证是凸函数。 
• 输出值的范围： 当激活函数输出值是有限的时候，基于梯度的优化方法会更加稳定，因为特征的表示受有限权值的影响更显著；当激活函数的输出是无限的时候，模型的训练会更加高效，不过在这种情况少，一般需要更小的learning rate。

2|0常见的激活函数

如图，是激活函数的大分类：

目前来讲，选择怎样的激活函数不在于它能否模拟真正的神经元，而在于能否便于优化整个深度神经网络。在分别介绍各种激活函数并进行优劣对比和决策分析之前，先科普一个非常重要的概念——饱和。

2|1饱和

假设h(x)是一个激活函数，对于其导数h′(x)而言：

• 当xx趋近于正无穷时，函数的导数趋近于0，我们称其为右饱和；

  limx→+∞h′(x)=0

• 当xx趋近于负无穷时，函数的导数趋近于0，称其为左饱和。

  limx→−∞h′(x)=0

若一个函数既满足左饱和又满足右饱和，则该函数为饱和函数，否则为非饱和函数。

典型的饱和激活函数有如Sigmoid和tanh，非饱和激活函数有ReLU。相较于饱和激活函数，非饱和激活函数可以解决“梯度消失”的问题，加快收敛。

硬饱和和软饱和

对于任意的x，若存在常数c，当x>c时，恒有h′(x)=0成立，则称其为右硬饱和。同理，若存在常数c，当x<c时，恒有h′(x)=0成立，则称其为左硬饱和。当一个函数既满足又硬饱和和左硬饱和，则称该函数为硬饱和。

对于任意的x，若存在常数c，当x>c时，恒有h′(x)=0，则称其为右软饱和。同理，若存在常数c，当x<c时，恒有h′(x)=0，则称其为左软饱和。当一个函数既满足右软饱和和左软饱和，则称该函数为软饱和。

2|2Sigmoid

Sigmoid函数的一般形式是：

σ(x;a)=a1+e−ax

这里，参数aa控制Sigmoid函数的形状，对函数基本性质没有太大的影响。在神经网络中，一般设置a=1，直接省略。

Sigmoid 函数的导数：

σ′(x)=σ(x)(1+σ(x))

特性：Sigmoid是使用范围最广的一类激活函数，具有指数函数的形状，平滑易于求导，在物理上最接近神经元。它的输出范围为[0, 1]，可表示成概率或者用于数据的归一化。

三大缺点

一、梯度消失问题（Gradien Vanishing）

Sigmoid函数在深度网络中常常会导致导数逐渐变为0，使得参数无法被更新，神经网络无法被优化。原因在于两点：

（1）Sigmoid是饱和函数，具有软饱和性。从上图左可以看出，当σ(x)中x较大或较小时，导数接近00，而反向传播的数学依据是微积分求导的链式法则，当前层的导数需要之前各层导数的乘积，几个小数的相乘，结果会很接近00。同时，对于权重矩阵的初始化，为了防止饱和，也必须特别留意：如果初始化权重过大，可能很多神经元得到一个比较小的梯度，致使神经元不能很好的更新权重提前饱和，神经网络就几乎不学习。

（2）从上图右也可看出Sigmoid的导数都是小于0.25的，这意味着导数在每一层至少会被压缩为原来的1/4，通过两层后被变为1/16，…，通过10层后为1/1048576。那么在进行反向传播的时候，梯度相乘结果会慢慢地趋近于0。这样，几乎就没有梯度信号通过神经元传递到前面层的梯度更新中，使得前面层的权值几乎没有更新，前层网络很难得到有效训练，这类梯度消失跟网络深度有关。

二、输出不是关于原点中心对称的（zero-centered)

关于激活函数不zero-centered所带来的问题，先讲一下三个概念：

收敛速度

模型的最优解即是模型参数的最优解。通过逐轮迭代，模型参数会被更新到接近其最优解。这一过程中，迭代轮次多，则我们说模型收敛速度慢；反之，迭代轮次少，则我们说模型收敛速度快。

参数更新

深度学习一般的学习方法是反向传播。简单来说，就是通过链式法则，求解全局损失函数L(x→)对某一参数w的偏导数（梯度）；而后辅以学习率η，向梯度的反方向更新参数w。

w←w−η⋅∂L∂w

考虑学习率ηη是全局设置的超参数，参数更新的核心步骤即是计算∂L∂w。再考虑到对于某个神经元来说，其输入与输出的关系是

f(x→;w→,b)=f(z)=f(∑iwixi+b)

因此，对于参数wi来说，$$\frac{L}{w_i] = \frac{\partial L}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w_i} = x_i\cdot \frac{\partial L}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z}$$

因此，参数的更新步骤变为

wi←wi−ηxi⋅∂L∂f∂f∂z

更新方向

由于wiwi是上一轮迭代的结果，此处可视为常数，而ηη是模型超参数，参数wiwi的更新方向实际上由xi⋅∂L∂f∂f∂zxi⋅∂L∂f∂f∂z决定。

又考虑到∂L∂f∂f∂z∂L∂f∂f∂z对于所有的$w_i来说是常数，因此各个wiwi更新方向之间的差异，完全由对应的输入值xixi的符号决定。

至此，为了描述方便，我们以二维的情况为例。亦即，神经元描述为

f(x→;w→,b)=f(w0x0+w1x1+b)

现在假设，参数w0,w1w0,w1的最优解w∗0,w∗1满足条件

{w0<w∗0w1≥w∗1

这也就是说，我们希望w0w0适当增大，但希望w1适当减小。考虑到上一小节提到的更新方向的问题，这就必然要x0x0和x1x1符号相反。

但在 Sigmoid 函数中，输出值恒为正。这也就是说，如果上一级神经元采用 Sigmoid 函数作为激活函数，那么我们无法做到x0和x1符号相反。此时，模型为了收敛，不得不向逆风前行的风助力帆船一样，走Z字形逼近最优解。

如图，模型参数走绿色箭头能够最快收敛，但由于输入值的符号总是为正，所以模型参数可能走类似红色折线的箭头。如此一来，使用Sigmoid函数作为激活函数的神经网络，收敛速度就会慢上不少了。 

三、计算耗时

指数函数的幂运算，计算量大，相对比较消耗计算资源，时间较长。

2|3tanh

tanh 函数全称 Hyperbolic Tangent，即双曲正切函数。它的表达式是

tanh(x)=2σ(2x)−1=ex−e−xex+e−x

双曲正切函数的导数：

tahn′(x)=1−tahn2(x)

 

特性：tanh和Sigmoid非常相似，实际上，tanh是Sigmoid的变形：tanh(x)=2sigmoid(2x)−1。与Sigmoid不同的是，tanh是“零为中心”的。因此，实际应用中，tanh会比Sigmoid更好一些。但是在饱和神经元的情况下，tanh还是没有解决梯度消失问题。

缺点：依然是幂运算，相对耗时；导数值较小（小于1），也具有软饱和性，对梯度消失问题依旧无能为力；

2|4ReLU

ReLU是目前使用最频繁的一个函数，如果你不知道你的激活函数应该选择哪个，那么建议你选择ReLU试试。一般情况下，将ReLU作为你的第一选择。

ReLU全称是Rectified Linear Unit，中文名字：修正线性单元。ReLU是Krizhevsky、Hinton等人在2012年《ImageNet Classification with Deep Convolutional Neural Networks》论文中提出的一种线性且不饱和的激活函数。它的数学表达式为：

 

f(x)=max(0,x)

导数为：

ififz<0,σ′(x)=0z≥0,σ′(x)=1

ReLU的优点

（1）ReLU一定程度上缓解了梯度消失的问题，至少xx在正区间内（x > 0），神经元不会饱和；

（2）由于ReLU线性（正区间）、非饱和的特性，在SGD中能够快速收敛，比Sigmoid与tanh要快很多；

（3）运算速度要快很多。ReLU函数只有线性关系（正区间），不需要指数计算，不管在前向传播还是反向传播，计算速度都比Sigmoid和tanh快。

ReLU的缺点

（1）ReLU的输出不是“零为中心”（Not zero-centered output）。

（2）随着训练的进行，可能会出现神经元“死亡”，权重无法更新的情况，且这种神经元的死亡是不可逆转的死亡。

 

这里重点讲一下

Dead ReLU Problem

神经元“死亡”，意味着表示某些神经元可能永远不会被激活， 导致其相应的参数永远不能被更新，其本质是由于Relu在x<0x<0时其梯度为00所导致的。

假设有一个神经网络的输入W遵循某种分布，对于一组固定的参数（样本），w的分布也就是ReLU的输入的分布。假设ReLU输入是一个低方差中心在+0.1的高斯分布。

在这个场景下：

• 大多数ReLU的输入是正数，因此
• 大多数输入经过ReLU函数能得到一个正值（ReLU is open），因此
• 大多数输入能够反向传播通过ReLU得到一个梯度，因此
• ReLU的输入w一般都能得到更新（通过随机反向传播SGD）

现在，假设在随机反向传播的过程中，有一个巨大的梯度经过ReLU，由于ReLU是打开的，将会有一个巨大的梯度传给输入w。这会引起输入w巨大的变化，也就是说输入w的分布会发生变化，假设输入w的分布现在变成了一个低方差的，中心在-0.1高斯分布。

在这个场景下：

• 大多数ReLU的输入是负数，因此
• 大多数输入经过ReLU函数能得到一个0（ReLU is close），因此
• 大多数输入不能反向传播通过ReLU得到一个梯度，因此
• ReLU的输入w一般都得不到更新

发生了什么？只是ReLU函数的输入的分布函数发生了很小的改变（-0.2的改变），导致了ReLU函数行为质的改变。我们越过了0这个边界，ReLU函数就几乎永久的关闭了。更重要的是ReLU函数一旦关闭，参数w就得不到更新，这就是所谓的"dying ReLU"。

从数学上说，这是因为ReLU的数学公式导致的f(x)=max(x,0)，导数：∇xf(x)=0(x≤0)。所以可以看出，如果在前向传播的过程中ReLU is close（输出是0），那么反向传播时，ReLU也是close的（梯度是0）。

结论：出现Dead ReLU Problem一般有两种情况：

（1）learning rate太高导致在反向传播的过程中参数更新太大，而大的梯度更新可能会导致参数W的分布小于0，当流经过ReLU单元时可能导致神经元不会在以后任何数据节点再被激活，如当进入Relu单元的数都是负数时，Relu将其非线性化成0。当这发生时，经过此神经元的梯度也将永远为0，参数就不会被更新，导致神经元不再学习。也就是说，ReLU单元可能不可逆地在训练中的数据流中关闭（死亡），之后的参数永久不更新将导致训练数据多样化的丢失。

（2）非常不幸的参数初始化，这种情况比较少见 ；

解决方法是可以采用Xavier初始化方法，以及避免将learning rate设置太大或使用adagrad等自动调节learning rate的算法。

 

引出的问题：神经网络中ReLU是线性还是非线性函数？为什么relu这种“看似线性”（分段线性）的激活函数所形成的网络，居然能够增加非线性的表达能力？

• ReLU是非线性激活函数。
• 让我们先明白什么是线性网络？如果把线性网络看成一个大的矩阵M。那么输入样本A和B，则会经过同样的线性变换MA，MB（这里A和B经历的线性变换矩阵M是一样的）
• 的确对于单一的样本A，经过由relu激活函数所构成神经网络，其过程确实可以等价是经过了一个线性变换M1，但是对于样本B，在经过同样的网络时，由于每个神经元是否激活（0或者Wx+b）与样本A经过时情形不同了（不同样本），因此B所经历的线性变换M2并不等于M1。因此，ReLU构成的神经网络虽然对每个样本都是线性变换，但是不同样本之间经历的线性变换M并不一样，所以整个样本空间在经过ReLU构成的网络时其实是经历了非线性变换的。

在实际训练中，如果学习率设置的太高，可能会发现网络中40%的神经元都会死掉，且在整个训练集中这些神经元都不会被激活。所以，设置一个合适的较小的学习率，会降低这种情况的发生。而为了解决神经元节点死亡的情况，有人提出了Leaky ReLU、P-ReLu、R-ReLU、ELU等激活函数。

2|5Leaky ReLU

ReLU是将所有的负值设置为0，造成神经元节点死亡情况。相反，Leaky ReLU是给所有负值赋予一个非零的斜率。Leaky ReLU激活函数是在声学模型(2013)中首次提出来的。它的数学表达式为：

f(x)={x,αx,ifx>0ifx≤0

导数：

f′(x)={1αx>0x≤0

优点：

1. 神经元不会出现死亡的情况。
2. 对于所有的输入，不管是大于等于0还是小于0，神经元不会饱和。
3. 由于Leaky ReLU线性、非饱和的形式，在SGD中能够快速收敛。
4. 计算速度要快很多。Leaky ReLU函数只有线性关系，不需要指数计算，不管在前向传播还是反向传播，计算速度都比sigmoid和tanh快。

缺点：Leaky ReLU函数中的参数αα需要通过先验知识人工赋值。

总结：Leaky ReLU很好的解决了“dead ReLU”的问题。因为Leaky ReLU保留了x小于0时的梯度，在x小于0时，不会出现神经元死亡的问题。对于Leaky ReLU给出了一个很小的负数梯度值α，这个值是很小的常数。比如：0.01。这样即修正了数据分布，又保留了一些负轴的值，使得负轴信息不会全部丢失。但是这个α通常是通过先验知识人工赋值的。

2|6P-ReLU

Parametric ReLU是基于参数的方法，是对Leaky ReLU的改进：可以自适应地从数据中学习参数。P-ReLU具有收敛速度快、错误率低的特点，可以用于反向传播的训练，可以与其他层同时优化。其数学表达式和导数与Leaky ReLU一样，区别只是参数α由back propagation学出来，而并非人工赋值：

 

Δai=μΔai+ϵ∂ϵ∂ai

特性：P-ReLU只增加了极少量的参数，也就意味着网络的计算量以及过拟合的危险性都只增加了一点点。特别的，当不同channels使用相同的α时，参数就更少了。

2|7R-ReLU

R-ReLU的英文全称是“Randomized Leaky ReLU”，中文名字叫“随机修正线性单元”，即Leaky ReLU的随机版本。它首次是在Kaggle的NDSB比赛中被提出来的，其图像和表达式如下图所示：

数学表达式：

yij={xijajixjiifxij≥0ifxji<0whereaji∼U(l,u),l<uandl,u∈[0,1)

R-ReLU的核心思想是：在训练过程中，α是从一个高斯分布U(l,u)中随机出来的值，然后再在测试过程中进行修正。在测试阶段，把训练过程中所有的aijaij取平均值。

特性：（1）RReLU是Leaky ReLU的random版本，在训练过程中，α是从一个高斯分布中随机出来的，然后再测试过程中进行修正。（2）数学形式与P-ReLU类似，但R-ReLU是一种非确定性激活函数，其参数是随机的。

2|8ReLU、Leaky ReLU、PReLU和RReLU的比较

总结

（1）P-ReLU中的α是根据数据变化的；

（2）Leaky ReLU中的α是固定的；

（3）R-ReLU中的α是一个在给定范围内随机抽取的值，这个值在测试环节就会固定下来。

2|9ELU

ELU的英文全称是“Exponential Linear Units”，中文全称是“指数线性单元”，是对ReLU激活函数的一种演变。将激活函数更能够保持一个noise-robust状态，所以提出一个具有负值的激活函数，这可以使得平均激活接近于零，从而加快学习速度。同时，它还能通过正值的标识来避免梯度消失的问题。根据一些研究显示，ELU分类精确度是高于ReLU的。

数学表达式为：

f(x)={x,α(ex−1),ifx>0otherwise

导数：

f′(x)={1,f(x)+α,ifx>0otherwise

特性：ELU通过在正值区间取输入xx本身减轻了梯度弥散问题（x>0x>0区间导数处处为1），这一点特性这四种激活函数都具备。四者当中只有ReLU的输出值没有负值，所以输出的均值会大于0，当激活值的均值非0时，就会对下一层造成一个bias，如果激活值之间不会相互抵消（即均值非0），会导致下一层的激活神经元有bias shift。如此叠加，神经元越多时，bias shift就会越大。相比ReLU，ELU可以取到负值，这让神经元元激活均值可以更接近0，类似于Batch Normalization的效果但是只需要更低的计算复杂度。虽然Leaky ReLU和P-ReLU都也有负值，但是它们不保证在不激活状态下（就是在输入为负的状态下）对噪声鲁棒。反观ELU在输入取较小值时具有软饱和（左侧软饱和，右侧无饱和，右侧的线性部分可以解决梯度消失问题），左侧的软饱和提升了对输入噪声的鲁棒性。如图所示，其中αα是一个可调整的参数，它控制着ELU负值部分在何时饱和。

总结：ELU也是为解决ReLU存在的问题而提出，显然，ELU有ReLU的基本所有优点，以及不会有Dead ReLU问题，输出的均值接近0（zero-centered）。但它的一个小问题在于计算量稍大，需要计算指数，计算效率较低。

2|10Maxout

Maxout出现在ICML2013上（论文《Maxout Networks》），是由Goodfellow等人提出的一种很有特点的神经元。它的激活函数、计算的变量、计算方式和普通的神经元完全不同，并有两组权重。先得到两个超平面，再进行最大值计算。激活函数是对ReLU和Leaky ReLU的一般化归纳，没有ReLU函数的缺点，不会出现激活函数饱和神经元死亡的情况。

Maxout可以看作深度学习网络中的一层，如池化层、卷积层，我们可以把Maxout看成是网络的激活函数层，我们假设网络某一层的输入特征向量为：X=(x1,x2,…,xd，也就是我们输入是dd个神经元。Maxout隐藏层每个神经元的计算公式如下：

fi(x)=maxj∈[1,k]zij

其中，kk就是Maxout层所需要的参数了，由我们人为设定大小。就像Dropout一样，也有自己的参数p（每个神经元dropout概率），Maxout的参数是k。公式中z的计算公式为：其中zij=xTW...ij+bij。

权重WW是一个大小为(d,m,k)三维矩阵，b是一个大小为(m,k)的二维矩阵，这两个就是我们需要学习的参数。如果我们设定参数k=1，那么这个时候，网络就类似于以前我们所学普通的MLP网络。

我们可以这么理解，本来传统的MLP算法在第ii层到第i+1层，参数只有一组，然而现在我们不这么干了，我们在这一层同时训练nn组的w、b参数，然后选择激活值zz最大的作为下一层神经元的激活值，这个max(z)函数即充当了激活函数。

假设W是2维的，那么我们可以得出公式：f(x)=max(wT1x+b1,wT2x+b2)

可以注意到，ReLU和Leaky ReLU都是它的一个变形。Maxout的拟合能力非常强，它可以拟合任意的凸函数。Goodfellow在论文中从数学的角度上也证明了这个结论，只需要2个Maxout节点就可以拟合任意的凸函数，前提是“隐含层”节点的个数足够多。

优点：Maxout具有ReLU的所有优点，线性、不饱和性；同时没有ReLU的一些缺点。如：神经元的死亡。

缺点：从最后的激活函数公式14可以看出，每个神经元将有两组w，那么参数就增加了一倍。这就导致了整体参数的数量激增。

2|11Softmax

tanh函数和Sigmoid函数的作用是将输入映射到(0,1)(0,1)区间，从而判断属于某个类别，因此Sigmoid一般用于Logic Regression二分类，比如判断一个数是否大于0就是二分类，只有两个结果：是或否。但是现实中经常遇到更为复杂的分类问题比如MNIST问题，即识别手写数字是0~9中的哪一个，这里的分类就成了10类，就无法用Sigmoid来处理，Softmax就可以大展身手了。

Softmax的函数表达式：

y=eai∑Ck=1eaki∈1…C

这样可能并不是很清晰，换一个方式表达：

y=ei∑Cj=1eji∈1…C

假设分类结果有C种（MNIST中即有10种），y代表的就是第ii种的概率，那么结果会是一个C维向量(y1,y2,…,yc),其中y1代表该输出是第一类的概率，y2代表该输出是第2类的概率以此类推，然后我们选取其中概率最大的一个作为我们的结果。更通俗理解就是Softmax将输入值映射成属于每个类别的概率，且含有softmax激活函数的网络层有这样一个性质：∑ji=1σi(z)=1。

这里只介绍了Softmax的原理，而在反向传播中要用到Softmax的导数，这个导数的求解看似复杂其实也就是一个高中数学导数题，而这里有篇文章专门来介绍导数的求解，有兴趣的可以去看看：Softmax函数与交叉熵。

Softplus数学表达式：

f(x)=log(ex+1)

Softsign数学表达式：

f(x)=1|x|+1

3|0决策原则

目前还不存在定论，在实践过程中更多还是需要结合实际情况，考虑不同激活函数的优缺点综合使用。几点建议。

（1）深度学习往往需要大量时间来处理大量数据，模型的收敛速度是尤为重要的。所以，总体上来讲，训练深度学习网络尽量使用zero-centered数据 (可以经过数据预处理实现) 和zero-centered输出。所以要尽量选择输出具有zero-centered特点的激活函数以加快模型的收敛速度。

（2）通常来说，不能把各种激活函数串起来在一个网络中使用。

（3）如果你不知道应该使用哪个激活函数， 那么请优先选择Relu。

（4）如果使用ReLU，那么一定要小心设置学习率（learning rate），并且要注意不要让网络中出现很多死亡神经元。如果死亡神经元过多的问题不好解决，可以试试Leaky ReLU、PReLU或者Maxout。

（5）除非在二分类问题中，否则请尽量不要使用sigmoid激活函数，可以试试tanh，不过预期效果可能还是比不上ReLU和Maxout。

（整理自网络）

参考资料：

https://www.cnblogs.com/wyshen/archive/2004/01/13/13399578.html

https://www.cnblogs.com/XDU-Lakers/p/10557496.html

https://blog.youkuaiyun.com/disiwei1012/article/details/79204243

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25110450

https://zhuanlan.zhihu.com/p/44398148

https://zhuanlan.zhihu.com/p/41894523

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