12、主成分分析：原理、应用与实战

主成分分析：原理、应用与实战

1. 引言

“有些人追着球跑，而我会跑到球要去的地方。” —— 韦恩·格雷茨基

在数据分析领域，我们常常会遇到高维数据，其中许多变量之间存在高度相关性，这不仅增加了数据处理的复杂性，还可能导致“维度诅咒”问题。主成分分析（Principal Components Analysis，PCA）作为一种强大的无监督学习技术，能够帮助我们降低数据的维度，同时保留大部分关键信息，从而更好地理解和分析数据。本文将深入探讨主成分分析的原理、应用以及如何在实际场景中运用它。

2. 主成分分析概述

在许多数据集，尤其是社会科学领域的数据集中，我们会发现很多变量之间存在高度相关性，并且数据可能具有高维度的特点。这会带来一个问题，即估计函数所需的样本数量会随着输入特征数量的增加而呈指数级增长。此外，部分变量可能是冗余的，因为它们实际上测量的是相同的概念，例如收入和贫困、抑郁和焦虑。

主成分分析的目标是创建一组新的变量（主成分），这些变量能够捕捉原始变量集中的大部分信息，从而简化数据集并揭示潜在的洞察。这些新变量彼此之间高度不相关，除了用于监督学习，它们还常用于数据可视化。

3. 主成分的定义与计算

主成分分析的核心是找到主成分。一个主成分可以看作是特征的归一化线性组合。在一个数据集中，第一个主成分是能够捕捉数据中最大方差的线性组合。第二个主成分则是在与第一个主成分垂直的方向上，选择另一个能够最大化方差的线性组合。后续的主成分（数量与变量数量相等）也遵循相同的规则。

这里有两个关键假设：
- 线性组合：PCA假设数据可以通过线性组合来表示。如果将PCA应用于