计算机图形学问题解析与算法实现

1、选择矩阵 ⎛ ⎝ c 0 6 0 c 4 0 0 c ⎞ ⎠ 中的常数 c，使得该矩阵表示在齐次坐标下按向量 (3,2)⊤ 进行的平移。

根据平移矩阵的形式，在二维齐次坐标下平移矩阵为

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & dx \
0 & 1 & dy \
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$

这里 $ dx = 3 $，$ dy = 2 $。给定矩阵

$$
\begin{pmatrix}
c & 0 & 6 \
0 & c & 4 \
0 & 0 & c
\end{pmatrix}
$$

要表示该平移，需满足 $ c = 1 $。

所以答案是 $ c = 1 $。

2、需要对一个简单的二维太阳系模型进行动画处理，该模型包含一个太阳和一个行星。太阳的中心位于坐标系的原点。半径为 10 个单位的球形行星以恒定速度在圆形轨道上绕太阳逆时针旋转。行星轨道的半径（太阳和行星中心之间的距离）为 200 个单位。在动画开始时，行星的中心位于点(200, 0)。行星绕太阳旋转一圈的过程中，会绕自身轴逆时针旋转 365 次。考虑在动画开始时行星上最接近太阳的点。使用几何变换来描述行星完成其轨道的三分之一后，该点将位于何处。

需运用几何变换知识，先确定行星绕太阳旋转三分之一轨道后的位置，再结合行星自转情况确定该点位置。具体计算涉及角度、三角函数等知识，先算出行星绕太阳旋转角度为 120°，行星自转角度为 365×120°，再根据旋转矩阵等进行坐标变换计算该点新坐标。

3、推导绘制斜率在 -1 到 0 之间直线的中点算法。

可完全类比斜率在 0 到 1 之间直线的中点算法来推导。对于斜率在 0 到 1 之间直线的中点算法，首先要确保绘制的直线绝对斜率至多为 1，若绝对斜率大于 1 则交换坐标轴角色；

假设绘制绝对斜率小于 1 的直线，且先考虑斜率在 0 到 1 之间的情况；

计算相关参数如：

• dx
• dy
• ΔE
• ΔNE
• Dinit

等，根据决策变量 D 的值决定下一个要绘制的像素是“ 东 ”或“ 东北 ”方向；

对于斜率在 -1 到 0 之间的直线，可按类似步骤，根据其斜率特点对参数计算和像素选择规则做相应调整来推导算法。

4、给定直线的两个端点，绘制该直线，写出具体步骤

给定直线的两个端点 $(x_0, y_0)$ 和 $(x_1, y_1)$，计算：

• $dx = x_1 - x_0$
• $dy = y_1 - y_0$

采用序列 H dx - dy D dy 作为直线绘制模式的初步近似。

公约数判断：

• 若 $dx$ 和 $dy$ 有大于 1 的公约数 $g = \text{gcd}(dx, dy) > 1$，像素线可通过长度为 $dx/g$ 的序列重复 $g$ 次绘制；
• 若无公约数则继续处理。
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