hdu1016-Prime Ring Problem（素数环，优化版本）

最新推荐文章于 2024-07-20 14:45:00 发布

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该博客介绍了如何优化解决杭电在线判题系统中的1016题——Prime Ring Problem。通过全排列并实时检查、预处理素数、利用奇偶性优化，以及针对奇数N的特殊处理，来提高算法效率，减少不必要的搜索。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

整理参考自：杭电OJ——1016 Prime Ring Problem

题意：

给出一个N(0<N<20)，在1~N的所有排列中，满足相邻两个数之和是素数（头尾相邻）的排列输出

常规思路：

全排列出所有可能，从中找符合条件的

优化①：

更高效的方法是，一边排列一边检查，这样可以提早发现不满足条件的候选解，提早剪枝，避免不必要的搜索，

1 void PrimeCircle(int a[], int n, int t)
 2 {
 3     if(t == n)
 4     {
 5         Output(a, n) ; // 找到一个解
 6     }
 7     else
 8     {
 9         for(int i = 1; i <= n; i++)
10         {
11             a[t] = i ;
12             if(IsOk(a)) // 检查当前值，满足条件才继续
13                 PrimeCircle(a, n, t + 1) ;
14         }
15     }
16 }

优化 ②：

预处理20以内的素数最大和范围内的素数，判断是否为素数，用01先标记，这样，要判断一个数是否为素数时，直接判断a[i]是否为1即可。

1 int prime[38] = 
 2 {
 3     0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 
 4     1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 
 5     0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 
 6     0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 
 7     0, 1, 0, 1, 0, 0, 0,
 8     0, 0, 1,
 9 } ;

优化③：

关于n的优化，如果输入N是奇数的话，由于起点从1开始，那么1-N之间一共有N / 2个偶数，N / 2 + 1个奇数，也就是奇数的个数比偶数多一个，那么把这N个数排成一个环，根据鸽巢原理，必然有两个奇数是相邻的，而两个奇数之和是偶数，偶数不是素数，所以我们得出结论，如果输入N是奇数的话，没有满足条件的排列。这样当N是奇数的时候，直接返回即可。

if(n & 1) // 奇数无解，直接返回
     return ;

优化④：

任何一个满足条件的排列都有一个共同点：相邻的两个数奇偶性必然不同，原因是：两个奇数之和或者两个偶数之和都是偶数，而偶数一定不是素数，所以在选取当前元素的时候，比较一下它和前一个元素的奇偶性。再做决定，可以减少一部分计算量。

if(!((curValue + a[lastIndex]) & 1)) // 相邻的数奇偶性必然不同
     return false ;

【代码】

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <map>
#include <list>
#include <vector>
#include <stack>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define go(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define og(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define cs cout<<"-----"<<endl;
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e6 + 5;
const double pi = atan(1.)*4;
typedef long long ll;
int prime[38]=
{
    0, 0, 1, 1, 0, 1, 0,
    1, 0, 0, 0, 1, 0, 1,
    0, 0, 0, 1, 0, 1, 0,
    0, 0, 1, 0, 0, 0, 0,
    0, 1, 0, 1, 0, 0, 0,
    0, 0, 1,
};
void show(int a[],int n)
{
    for(int i = 0;i < n;i++)
    {
        if(i)
            cout<<" ";
        cout<<a[i];
    }
    cout<<endl;
}
bool is_prime(int a[],int lastindex,int curv)
{
    if(lastindex < 0)
        return true;
    if(!((curv + a[lastindex]) & 1))
        return false;
    if(!(prime[a[lastindex] + curv]))
        return false;
    for(int i = 0;i <= lastindex;i++)
       if(a[i] ==curv)
           return false;
    return true;
       
}

void dfs(int a[],int n,int t)
{
    if(n&1)
        return ;
    if(t == n)
    {
        if(prime[a[0] + a[n-1]])
            show(a,n);
    }
    else
    {
        for(int i = 2;i <= n;i++)
        {
            a[t] = i;
            if(is_prime(a,t-1,i))
                dfs(a,n,t+1);
        }
    }
    
}
int main()
{
    int a[20];
    int  n,ri = 1;
    while(cin>>n)
    {
        printf("Case %d:\n",ri);
        ri++;
        a[0] = 1;
        dfs(a,n,1);
        cout<<endl;
    }
    
    return 0;
}