欧拉函数

最新推荐文章于 2021-08-04 11:53:46 发布

hzaukotete

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本文介绍了欧拉函数的定义，给出了欧拉函数的公式，并详细阐述了欧拉函数的多个性质，包括与互质数的关系、计算公式及积性函数特性等。此外，还提到了如何通过代码实现欧拉函数的计算。

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整理一下欧拉函数,做题时注意套公式和积性函数性质。

一.定义

对正整数n，欧拉函数是小于n且和n互质的正整数(包括1)的个数。

二.公式

E(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…(1-1/pn) , 其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数。

E(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

三.性质

1.N>1，不大于N且和N互素的所有正整数的和是 1/2*N*E(N)。

2.对于互质的正整数a和n，有a^E(n) ≡ 1 mod n。

3.欧拉函数是积性函数，即若m,n互质，E(m*n)=E(m)*E(n)。

4.若p是质数，n=p^k，代入公式可得 E(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)*p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

5.当n为奇数时，E(2n)=E(n) （积性函数）

6.n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。

四.代码

1.直接求欧拉函数值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int Eular(int n)
{
    int ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1);
            while(n%i==0)
            {
                n/=i;
            }
        }
    }
    if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<Eular(n)<<endl;
    return 0;
}

2.线性筛打欧拉函数表

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 100005

bool isprime[maxn];
int prime[maxn];
int num;
int phi[maxn];

void eular(int n)
{
    memset(isprime,false,sizeof isprime);
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[num++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<num&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}


int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    eular(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<"eular["<<i<<"]="<<phi[i]<<endl;
    return 0;
}