欧拉函数的经典公式

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#欧拉函数

证明N=∑d|Nφ(d)

证：

设N=ΠTi=1p[i]k[i]p[i]表示互异的素数。

∑d|Nφ(d)=ΠTi=1∑k[i]j=0φ(p[i]j)

=ΠTi=11+∑k[i]j=1φ(p[i]j)

=ΠTi=11+∑k[i]j=1p[i]j−1∗(p[i]−1)

=ΠTi=11+(p[i]−1)∗∑k[i]j=1p[i]j−1

=ΠTi=11+(p[i]−1)∗p[i]k[i]−1p[i]−1

=ΠTi=1p[i]k[i]=N

得证

数学知识 欧拉函数
撒浪嘿呦✨的博客
02-23 883
欧拉函数 给定 n 个正整数 ai，请你求出每个数的欧拉函数。 欧拉函数的定义 输入格式 第一行包含整数 n。 接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。 输出格式 输出共 n 行，每行输出一个正整数 ai 的欧拉函数。 数据范围 1≤ n ≤ 100, 1≤ ai ≤2×109 输入样例： 3 3 6 8 输出样例： 2 2 4 欧拉函数：求1~n中与n互质的数的个数。 n = p1a1+p2a2+p3a3+p4a4+…pkak 欧拉函数公式： Φ（n）= n * (1-1/p1) * (1-1/p
欧拉函数计算公式的推导
Michael_Li的博客
04-11 1万+
前置知识定理1：φ(a)=a-1，a为质数定理2：φ(pk p^k)=pk p^k-pk−1 p^{k-1}，p为质数证明：因为p是质数，所以1..p-1中与p不互质的数一定可以表示为t*p的形式，而t的取值范围是1..pk−1p^{k-1},所以结论得证。定理3：欧拉函数φ是一个积性函数，即φ(xy)=φ(x)∗ *φ(y)当且仅当gcd(x,y)=1证明：http://blog.sina.com
欧拉函数
weixin_43184669的博客
09-02 4160
1.首先明确积性函数 对于算术函数f(x)如果如果对于任意两个互质的正整数n,m，有f(nm)=f(n)*f(m),那么称该函数为积性函数。 如果对任意两个正整数n,m都满足f(nm)=f(n)*f(m)，那么称为完全积性函数。 2.欧拉函数的概念 φ(n)；表示不大于n,并且和n互质的数的个数（包括1）。 φ(1)=1; 3. 定理1： 如果f(x)为积性函数，通过质因子分解可以表示为 x=p1...
欧拉函数与莫比乌斯函数
最新发布
zhangjianhao0518的博客
06-22 195
本文介绍了数论中重要的积性函数及其应用。首先定义了积性函数的概念，并通过小练习判断函数的积性。重点讲解了欧拉函数的定义、性质和高效计算方法，包括暴力法和线性筛优化，并给出求解欧拉函数的模板代码。接着介绍了莫比乌斯函数的基本性质和线性筛求法。最后通过Farey数列问题展示了欧拉函数的实际应用，即求2~n中欧拉函数的和来解决问题。文章包含多个例题和代码实现，涵盖了数论函数的基础知识和常用算法技巧。
欧拉函数公式以及证明
02-19
欧拉函数 ： 欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。 完全余数集合： 定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，...
HDU 5728 PowMod 欧拉函数公式推导+欧拉降幂
Fuko_Ibuki的博客
07-08 8437
文章目录题意 题意 令k=∑i=1mϕ(n×i)  mod  109+7k=\sum_{i=1}^{m}\phi(n\times i)\ \ mod \ \ 10^9+7k=∑i=1m​ϕ(n×i)  mod  109+7,求kkkkkk...... mod pk^{k^{k^{k^{k^k......}}}}\ mod\ pkkkkkk...... mod p. n,m,p≤107n
欧拉函数 1
08-08
使用质因数分解的方法，可以将欧拉函数计算公式写成： phi(n) = n(1-(1/p1))(1-(1/p2))....(1-(1/pk)) 其中，n=p1^a1 * p2^a2 * ... * pk^ak 是 n 的质因数分解式，p1 到 pk 是 k 个互不相同的质数，a1 到 ak 是正...
【欧拉函数】 欧拉函数计算及打表
热门推荐
Qiuker_jl的博客
11-10 1万+
文章目录一.欧拉函数简介二.欧拉函数计算三.欧拉函数值打表 一.欧拉函数简介 在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’s totient function)，它又称为Euler’s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 注：a,b互质即gcd(a,b)=1 二.欧拉函数计算 计算公式φ(n)=n⋅∏i=1k(1−1pi)φ(n)=n\cdot
欧拉函数的计算
Gorden的博客
11-17 3381
直接上代码
数论 —— 欧拉函数
qq_62018762的博客
01-30 3210
数论算法，欧拉函数公式推导 + 代码
欧拉函数算法
weixin_42324579的博客
08-05 380
最大公约数算法 int gcd(int a,int b) {     return b==0 ? a : gcd(b, a%b); }   欧拉函数 #define ll long long ll phi(ll x) {        ll res = x;     for(ll i = 2; i * i <= x; i ++)     {         if(x % i == 0...
欧拉函数总结
zgdlxs的博客
02-12 6470
1.什么是欧拉函数 在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数（由高斯所命名）或是欧拉总计函数[1]（totient function，由西尔维斯特所命名）。 例如，因为1,3,5,7均和8互质。 欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群（即环的所有单位元组成的乘法群）的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。 总而言之，欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。 .
欧拉函数公式
03-27 5403
pk的欧拉函数对于给定的一个素数p，我们知道Φ(p) = p-1。假设一个整数n是p的k次幂，也就是 n = pk k∈N+容易证明 Φ(n) = pk - pk-1 证明： 已知少于小于pk的正整数个数为pk-1个，其中 和pk不互质的正整数有{p×1,p×p2,...,p×(pk-1-1)}共计pk-1-1个 所以
欧拉函数计算（模板）
weixin_30444105的博客
02-25 277
对于正整数n，欧拉函数phi(n)表示的是所有小于等于n的正整数中与n互素的数的个数 phi(x) = x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…(1-1/pn),其中p1,p2……pn为x的所有素因数，x是不为0的整数，phi(1)=1 结论 一个数的所有质因子之和是phi(n)*n/2 //直接计算欧拉phi函数...
【BZOJ4805】欧拉函数求和
banchangyue3928的博客
11-24 195
题面 Description 给出一个数字N，求\(\sum\limits_{i=1}^n\varphi(i)\)i,1<=i<=N Input 正整数N。N<=2*10^9 Output 输出答案。 Sample Input 10 Sample Output 32 题目分析 杜教筛模板题。 由\((1*\varphi)=Id\)，取\(g(x)=1\)。 \[ S(n...
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