凸优化第八章几何问题 8.5 中心

最新推荐文章于 2024-05-19 19:55:52 发布

使君杭千秋

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分类专栏：凸优化

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/wangchy29/article/details/87875533

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博客主要介绍了几种中心的概念。包括多面体的Chebyshev中心，可通过求解线性规划得出；最大体积椭球中心是C中最大体积椭球的中心；还阐述了不等式组的解析中心，包括一般情况及线性不等式组的解析中心，并给出了相关定义和几何解释。

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8.5 中心

Chebyshev中心
最大体积椭球中心
不等式组的解析中心

Chebyshev中心

多面体的Chebyshev中心

设C是有线性不等式组 $a_i^Tx\leq b_i,i=1,\cdots ,m$ 定义，如果 $R \geq 0$ ，则

$g_i(x,R)=sup_{\begin{Vmatrix} u\end{Vmatrix}\leq 1}a_i^t(x+Ru)-b_i,=a_i^Tx+R\begin{Vmatrix}a_i \end{Vmatrix}_*-b_i$

于是Chebyshev中心可以通过求解线性规划：

$maximize \, \, R \\ subject \, \, to \,\,a_i^Tx+R\begin{Vmatrix}a_i \end{Vmatrix}_*\leq b_i,R \geq 0$

最大体积椭球中心

定义C中具有最大体积椭球的中心为C的最大体积椭球中心，记为 $x_{mve}$ ，如下图。

不等式组的解析中心

一组凸不等式和线性方程 $f_i(x)\leq 0,i=1,\cdots m\, \, \, Fx=g$ 的解析中心 $x_{oc}$ 定义为凸问题

$minimize \,\, -\sum_{i=1}^mlog(-f_i(x))\\ subject \, \, to \, \, Fx=g$

的最优解。这里的优化变量是 $x \in R^n$ ，并有隐含约束 $f_i(x)<0,i=1,\cdots ,m$ 。问题中的目标被称为与不等式相关的对数障碍。

解析中心不是有不等式和等式所描述的集合的函数；两组不等式和等式可能定义相同的集合，但有不同的解析中心。

线性不等式组的解析中心

线性不等式组 $a_i^Tf_i(x)\leq 0,i=1,\cdots,m$ 的解析中心是下面无约束极小化问题的解：

$minimize \, \,\phi(x)= -\sum_{i=1}^mlog(b_i-a_i^Tx)$

其隐含约束为 $b_i-a_i^Tx>0,i=1,\cdots,m$

可以对线性不等式组的解析中心给予几何解释。因为解析中心对约束函数的正伸缩变换独立，可以不失一般性地假设 $\begin{Vmatrix} a_i \end{Vmatrix}_2=1$ ，在这种情况下， b_i-a_i^Tx 的松弛是到超平面

$x_{ac}$ 是 $minimize \, \,\phi(x)$ 的最优解，下图虚线是多面体C的对数障碍函数的五条等值曲线，对数障碍函数的最小值点是 $x_{ac}$ 。

内部阴影所示的椭球为 $\varepsilon _{inner}=\left \{ x|(x-x_{ac})H(x-x_{ac})\leq 1 \right \}$ 其中H为对数障碍函数 $\phi (x)$ 在 $x_{ac}$ 处的海瑟矩阵。

定义

$P =\left \{ x|a_i^Tx\leq b_i,i=1,\cdots,m \right \}\\ \varepsilon _{inner}=\left \{ x|(x-x_{oc})^TH(x-x_{oc}) \leq 1\right \}\\ \varepsilon _{outer}=\left \{ x|(x-x_{oc})^TH(x-x_{oc}) \leq m(m-1)\right \}\\$

则有 $\varepsilon _{inner}\subseteq P\subseteq \varepsilon _{outer}$ ，即 $\varepsilon _{inner}$ 总是在P中，而 $\varepsilon _{outer}$ 总是覆盖P。与最大体积内接椭球相比，这是一个较弱的结果。