【算法解析】（2）分治算法：归并排序和快速排序

1. 分治算法（Divide and Conquer）

分治算法的核心思想是将一个大问题分解为多个小问题，分别解决这些小问题，然后将小问题的解合并起来得到大问题的解。

2. 算法步骤

分治算法通常包含以下三个步骤：

分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小、相互独立、与原问题形式相同的子问题。例如，在归并排序中，将一个待排序的数组从中间分成两个子数组。

解决（Conquer）：若子问题规模较小而容易被解决则直接求解，否则递归地解各个子问题。比如，对于归并排序中的子数组，如果子数组只有一个元素，就无需再排序；若子数组元素个数大于 1，则继续对其进行分解。

合并（Combine）：将各个子问题的解合并为原问题的解。在归并排序里，就是将两个已排序的子数组合并成一个有序的数组。

3. 适用问题

分治算法适用于满足以下几个特征的问题：

• 问题可分解：原问题可以分解为多个规模较小的子问题，且这些子问题的结构与原问题相似。
• 子问题相互独立：子问题之间没有依赖关系，可以独立求解。例如，在计算多个矩阵的乘积时，每个矩阵的计算过程互不影响。
• 子问题的解可合并：子问题的解能够以某种方式合并，得到原问题的解。像在归并排序中，将已排序的子数组合并成一个完整的有序数组。

4. 复杂度分析

分治算法的时间复杂度通常可以通过递归方程来分析。以常见的分治算法为例，假设原问题的规模为 (n)，分解成 (a) 个子问题，每个子问题的规模为 (n/b)，分解和合并步骤的时间复杂度为 (f(n))，则分治算法的时间复杂度 (T(n)) 满足递归方程：(T(n)=aT(n/b)+f(n))。

常见的复杂度情况有：

• 归并排序：将数组分成两个子数组（(a = 2)），每个子数组规模为 (n/2)（(b = 2)），分解和合并步骤的时间复杂度为 (O(n))，通过主定理可分析出归并排序的时间复杂度为 (O(n log n))。
• 快速排序：平均情况下，快速排序也将数组大致分成两个子数组（(a = 2)，(b = 2)），平均时间复杂度为 (O(n log n))；但在最坏情况下（如数组已经有序），时间复杂度会退化为 (O(n^2))。

5. 经典案例

5.1 案例描述

编写一个程序，该程序能够接收一个整数数组作为输入，分别使用归并排序和快速排序对数组进行排序，并输出排序后的数组。

输入
第一行包含一个整数 $n$（$1\le n\le 1000$），表示数组的长度。
第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$