33、线性时间内的∆-列表顶点着色算法

线性时间内的∆-列表顶点着色算法

1. 引言

本文聚焦于列表顶点着色问题，旨在提供高效的算法。我们的核心贡献在于对 Erdős、Rubin 和 Taylor 定理给出了全新证明。此证明催生出首个已知的线性时间算法，可对不包含完全图或奇环作为连通分量的图进行∆-列表着色。而且，该算法无需修改就能用于∆-着色此类图。与当前已知的由 Lovász 提出的∆-着色算法相比，我们的算法运行时间相同，但似乎更为简单。此外，我们还针对次立方图（最大度为 3 的图）给出了专门版本的算法，借助其简单的分解原理实现。

2. 问题描述

列表顶点着色问题中，输入的图每个顶点都有各自的颜色列表。我们的任务是为每个顶点从其颜色列表中挑选一种颜色，确保相邻顶点颜色不同。若能完成此任务，该图即为列表可着色。此问题是常规顶点着色问题的推广。在常规问题中，给定图和固定数量的 k 种颜色，需为每个顶点从这 k 种颜色中选色，使相邻顶点颜色不同。若能完成，图为 k - 可着色，最小的 k 即为图的色数。若对任意列表分配，只要每个列表大小至少为 k 时图都可列表着色，则称图为 k - 列表可着色，最小的 k 为列表色数（或选择数）。

更一般地，对于列表大小分配函数 f : V → ℕ，若对任意列表分配，只要顶点 v 的列表大小至少为 f(v) 时图都可列表着色，则称图为 f - 可选。例如，d - 可选图是指每个顶点颜色列表至少包含其度数那么多颜色时可列表着色的图。

需注意，k - 列表可着色图一定是 k - 可着色的，因为任何 k - 列表着色算法都可用于 k - 着色，只需给输入图的每个顶点分配相同的 k 种颜色列表，再运行 k - 列表着色算法即可。同时，图可列表着色当且