25、有界亏格图的支配集问题固定参数可解性

有界亏格图的支配集问题固定参数可解性

1. 引言

支配集问题是一个经典的NP完全问题，其定义如下：
- 输入 ：图$G = (V, E)$和整数参数$k$。
- 问题 ：是否存在节点集合$V’ \subseteq V$，使得$|V’| \leq k$，并且对于所有节点$v \in V$，要么$v \in V’$，要么存在边$uv \in E$且$u \in V’$。

在固定参数复杂度理论中，如果一个问题存在时间复杂度为$O(f(k)n^{\alpha})$的算法（其中$k$是问题参数，$n$是图中节点数，$\alpha$是与$k$和$n$无关的常数），则称该问题是固定参数可解的。支配集问题在平面图上仍然是NP完全问题，但已有一些针对平面图的算法，如Fellows和Downey给出的“搜索树”算法，时间复杂度为$O(11^kn)$，使用核化的最佳搜索树算法时间复杂度为$O(8^kn)$，基于树分解的算法时间复杂度为$O(c\sqrt{kn})$（$c = 46\sqrt{34}$）。

本文使用搜索树方法，证明了有界亏格图的支配集问题是固定参数可解的，对于亏格为$g$的图，时间复杂度为$O((24g^2 + 72g + 1)kn^2)$。

2. 算法介绍

2.1 基本算法

基本算法基于以下简单的递归过程：

procedure dominating set (B : node set, E : edge set, k : integer)