22、图论中支配集与着色问题的高效数据处理及复杂度分析

图论中支配集与着色问题的高效数据处理及复杂度分析

1 支配集问题的数据缩减规则

在图论的研究中，支配集问题是一个重要的课题。为了更高效地解决支配集问题，我们会采用一些数据缩减规则。这里介绍规则 2 的相关内容。

规则 2 包含两种情况：
- 情况 1 ：若 (N_3(v, w)) 能被 ({v, w}) 中的单个顶点支配，假设 (v) 能支配 (N_3(v, w))（(w) 不能），则向图 (G) 中添加一个新顶点 (w’) 以及边 ({w, w’})。
- 情况 2 ：若 (N_3(v, w)) 不能被 ({v, w}) 中的单个顶点支配，则从图 (G) 中移除 (N_3(v, w)) 和 (N_2(v, w))，并添加两个新顶点 (v’)、(w’) 以及边 ({v, v’})、({w, w’})。

1.1 规则 2 的正确性证明

引理 3 表明，设图 (G = (V, E))，将规则 2 应用于 (G) 后得到图 (G’ = (V’, E’))，则 (\gamma(G) = \gamma(G’))。证明过程如下：
(N_3(v, w)) 中的顶点只能被 (M := {v, w} \cup N_2(v, w) \cup N_3(v, w)) 中的顶点支配。规则 2 的所有情况都基于 (N_3(v, w)) 需要被支配这一事实，且只有当 (N_2(v, w) \cup N_3(v, w)) 中不存在能支配 (N_3(v, w)) 的单个顶点时，规则才会应用。
- 情况 (1.2) 及对称情况 (1.3)