21、几何相交图的幂与分散算法及支配集的数据约简

几何相交图的幂与分散算法及支配集的数据约简

在图论和算法领域，几何相交图的幂计算以及支配集问题的数据约简是两个重要的研究方向。下面将详细介绍相关的算法和规则。

几何相交图的幂与分散算法

• 加权独立集计算
  • 对于梯形图，在给定表示的情况下，加权独立集（weighted IS）可以在 $O(n \log n)$ 时间内计算。其算法使用一种支持端点插入、删除、前驱和后继操作的数据结构，复杂度等同于这些操作各执行 $n$ 次的复杂度。
  • 通过 $O(n \log n)$ 的预处理，可以假设所有端点是从 1 到 $2n$ 的整数。此时，van Emde Boas 数据结构可以在 $\log \log n$ 步内支持这些操作，从而可以在 $O(n \log \log n)$ 时间内计算梯形图的加权独立集。
• 定理 4
  • $k$-加权独立集（$k$-WIS）在区间图中可以在 $O(n)$ 时间内找到，在梯形图中可以在 $O(n(\log \log n + \log k))$ 时间内找到。
  • $k$-独立集（$k$-IS）在圆弧图中可以在 $O(n)$ 时间内找到。
• 分散算法
  • 通过二分查找 $k$ 进行分散 ：一个简单的算法是寻找图 $G$ 的最大幂 $G^k$，使得它仍然存在一个权重至少为 $q$ 的独立集。这