e^(-x^2)原函数的失败求法{本函数为超越函数，没有原函数}

先放正确答案
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}=\sqrt{\pi }$$
证法有许多 这是选自点我的一个证明方法。
首先要明确这是一个超越函数 求不了原函数
所以以下部分……纯属失败案例

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注：原本在desmos上完成的推导，复制时可能会带上一点奇怪的写法。$$f(x)={\int }_0^x...d...$$就相当于$$f(x)=\int ...dx(字母替换为x)$$

纯理论上的原函数是这样的
$$f\left(x\right)={\int }_0^x{e}^{-c^2}dc$$相信不少人会构造一个$$g(x)=-c^2,m(x)=e^x,f(x)=m(g(x))$$然后求原函数…
我是令u=g( c )。则原积分需要进行转化
$$f(x)={\int }_0^{-x^2}\frac{e^u}{-\left(\left(\frac{x}{|x|}\right)\sqrt{-4u}\right)}du$$
一定有人问我这个分母是怎么得到的？
我只想说，这个算式你能否看懂？
$$g^{-1}(x)=\sqrt{-x}$$
……^{这个再看不懂回厂重造吧}
然后我们知道du=g’(x)dx,u=g(x)。相应地，$$dx=\frac{du}{g^{\prime }(x)},x=g^{-1}(u)$$
$$g^{\prime }(x)=-2x$$
$$\frac{du}{g^{\prime }(x)}=\frac{du}{g^{\prime }((\frac{x}{|x|})g^{-1}(u))}$$
有人问了：这个$$(\frac{x}{|x|})$$什么情况?它有势力有背景是判断x的正负号，因为g(x)会消掉x的正负号。（当然，x不能为0）
那么转化再带入一下：$$f(x)={\int }_0^{-x^2}\frac{e^u}{-2\left(\left(\frac{x}{|x|}\right)\sqrt{-u}\right)}du$$
如果把2乘到根号里就得出上式了。
这个算式还能再整理一下
$$f(x)={\int }_0^{-x^2}\frac{x}{|x|}\frac{e^u}{-2\sqrt{-u}}du$$$$f(x)={\int }_0^{-\left(x^2\right)}\frac{x}{\left|x\right|}\frac{e^u\sqrt{-u}}{2u}du$$$$f(x)=\frac{x}{\left|x\right|}{\int }_0^{-\left(x^2\right)}\frac{e^u\sqrt{-u}}{2u}du$$$$f(x)=\frac{ix}{\left|2x\right|}{\int }_0^{-\left(x^2\right)}{u}^{-½}{e}^{u}du$$
根据$$\int f(x)g(x)dx=xf(x)g(x)-\int x{f}^{\prime }(x)g(x)dx-\int xf(x)g^{\prime }(x)dx$$
$$\int u^{-½}{e}^{u}du=u^{½}{e}^u-\int u(u^{-½}{)}^{\prime }{e}^{u}du-\int u^{½}{e}^{u}du$$$$\sqrt{u}{e}^u-\int (-\frac{1}{2\sqrt{u}})e^{u}du-\int \sqrt{u}{e}^{u}du$$

……反正我是解不下去了，Desmos也不支持虚数，后面的也没办法验证。
反正我本人想不到更好的方法了……遂告终

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完