43、小波方法：连续小波变换与哈尔变换详解

小波方法：连续小波变换与哈尔变换详解

1. 连续小波变换（CWT）基础

连续小波变换（CWT）是一种强大的信号分析工具，它依赖于母小波函数 $\psi(t)$ 对函数 $f(t)$ 进行变换。母小波需满足以下特性：
- 零面积特性 ：函数曲线下的总面积为零，即 $\int_{-\infty}^{\infty} \psi(t) dt = 0$，这意味着函数会在 $t$ 轴上下振荡，呈现出波浪形状。
- 有限能量特性 ：$|\psi(t)|^2$ 的总面积有限，即 $\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(t)|^2 dt < \infty$，表明小波函数的能量是有限的，且在有限区间外值为零或接近零。这两个特性也解释了“小波”名称的由来。
- 可容许性条件 ：该条件与小波函数的傅里叶变换相关，后续会详细说明。

常见的母小波函数有 Morlet 小波和墨西哥帽小波：
- Morlet 小波 ：定义为 $\psi(t) = e^{-t^2} \cos(\frac{\pi t}{2\ln 2}) \approx e^{-t^2} \cos(2.885\pi t)$，是一个余弦曲线，其振荡被指数（或高斯）因子衰减，超过 99% 的能量集中在 $-2.5 \leq t \leq 2.5$ 区间内。
- 墨西哥帽小波 ：定义为 $\psi(t) = (1 - 2t^2)e^{-t^2}$，是负高斯函数 $-0.5e^{-t^2}$ 的二阶导数。