hdu 4336 Card Collector（概率DP 或容斥原理）

最新推荐文章于 2019-01-02 20:47:18 发布

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分类专栏：组合数学概率DP

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概率DP

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本文探讨了一个经典的卡片收集问题，通过概率DP和容斥原理两种方法求解收集所有卡片所需的期望次数。提供了完整的代码实现，并对比了两种方法的思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：
有N(1<=N<=20)张卡片，每包中含有这些卡片的概率为p1,p2,````pN.
每包至多一张卡片，可能没有卡片。

求需要买多少包才能拿到所以的N张卡片，求次数的期望。

解析：

这题一看反应就是概率DP，没怎么想到容斥，设dp【i】表示当前状态i到达目标状态的期望花费（每包一个花费），这时需要二进制进行状态压缩，如6 为110 表示第0张卡片没有，第1张和第二张有，则 dp【(1<<n)-1】就是目标状态，(1<<n)-1=111111（n个1），其实这样二进制压缩就和容斥的原理差不多了

容斥：需要知道，当只有1个卡片时，其期望就是1/p[i]; 用位枚举就可以了

概率DP

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;

double dp[N],p[25],p1;
int main()
{
    int i,j,n,s,w;
    double py,pw;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        p1=1.0;
        for(i=0; i<n; i++)
        {
            scanf("%lf",&p[i]);
            p1-=p[i];
        }
        s=(1<<n)-1;
        dp[s]=0;
        for(i=s-1; i>=0; i--)
        {
            py=p1;
            pw=1;
           for(j=0;j<n;j++)
           {
              w=1<<j;
              if(i&w)  py+=p[j];
              else  pw+=p[j]*dp[i+w];
           }
           dp[i]=pw/(1.0-py);
        }
        printf("%lf\n",dp[0]);
    }
    return 0;
}

容斥原理

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

double p[22];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&p[i]);
        double ans=0;
        for(int i=1;i<(1<<n);i++)
        {
            int cnt=0;
            double sum=0;
            for(int j=0;j<n;j++)
              if(i&(1<<j))
              {
                  sum+=p[j];
                  cnt++;
              }
            if(cnt&1)ans+=1.0/sum;
            else ans-=1.0/sum;
        }
        printf("%.5lf\n",ans);
    }
    return 0;
}