矩阵的对角化（Diagonalization），二次型（Quadratic Form），求二次型的最值，二次型最值与特征值的关系

最新推荐文章于 2025-10-02 00:03:43 发布

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#线性代数

本文介绍了对称矩阵的性质及其正交对角化过程，并通过实例详细展示了如何利用对称矩阵解决二次型的问题，包括二次型的简化、变量代换、主轴定理的应用以及求解二次型的最大最小值。

对称矩阵的对角化

对称矩阵：如果矩阵 $A$ 满足 $A^T=A$ ，那么 $A$ 为对称矩阵，对称矩阵一定是方阵。

正交对角化

如果一个矩阵 $A$ 可正交对角化，那么存在一个正交矩阵 $P$ （根据正交矩阵的定义可知， $P^{-1}=P^T$ ）和一个对角阵，使得： $A=PDP^T=PDP^{-1}$ 。
定理：一个 $n×nn\times n$ 的矩阵 $A$ 可以正交对角化的充要条件是 $A$ 为对称矩阵。

例1：判断矩阵 $A=[6−2−1−26−1−1−15]A=\begin{bmatrix}6&-2&-1\\-2&6&-1\\-1&-1&5\end{bmatrix}$ 是否可以对角化，如果可以请对其进行对角化。

解：
$A$ 的特征方程： $0=det(A−λI)=−λ3+17λ2−90λ+144=−(λ−8)(λ−6)(λ−3)0=det(A-\lambda I)=-\lambda ^3+17\lambda^2-90\lambda+144=-(\lambda-8)(\lambda-6)(\lambda-3)$

特征值为3，6，8.

求 $λ=8\lambda =8$ 对应的基：
化简方程 $(A−λI)x=(A−8I)x=0(A-\lambda I)x=(A-8 I)x=0$ 对应的增广矩阵：

$[6−8−2−10−26−8−10−1−15−80]→[110000100000]\begin{bmatrix}6-8&-2&-1&0\\-2&6-8&-1&0\\-1&-1&5-8&0\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$

即通解为： $x=[x1x2x3]=x2[−110]x=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=x_2\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$

所以 $λ=8\lambda =8$ 对应的基为 $v1=[−110]v_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$ ；同理，求得
$λ=6\lambda =6$ 对应的基为 $v2=[−1−12]v_2=\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}$ ； $λ=3\lambda =3$ 对应的基为 $v3=[111]v_3=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}$ 。
向量 $v_1$ ， $v_2$ ， $v_3$ 形成了 $R^3$ 上一个基，因为 $v_1^Tv_2=0$ ， $v_1^Tv_3=0$ ， $v_2^Tv_3=0$ ，所以 ${v_1,v_2,v_3\}$ 是 $R^3$ 上一个正交基。

单位化后得到：（注：上面的 $v_1,v_2,v_3$ 是 $A$ 的3个线性无关的特征向量，下面 $u_1,u_2,u_3$ 是单位特征向量）

$u1=[−12120]u_1=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt2}\\\frac{1}{\sqrt2}\\0\end{bmatrix}$

$u2=[−16−1626]u_2=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt6}\\-\frac{1}{\sqrt6}\\\frac{2}{\sqrt6}\end{bmatrix}$

$u3=[131313]u_3=\begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt3}\\\frac{1}{\sqrt3}\\\frac{1}{\sqrt3}\end{bmatrix}$

所以可以得到矩阵 $P=[u1u2u3]=[−12−1613−12−161302613]P=[u_1\quad u_2\quad u_3]=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt3}\\-\frac{1}{\sqrt2}&-\frac{1}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt3}&\\0&\frac{2}{\sqrt6}&\frac{1}{\sqrt3}\end{bmatrix}$ ，

所以 $D=[800060003]D=\begin{bmatrix}8&0&0\\0&6&0\\0&0&3\end{bmatrix}$

到此， $A$ 对角化完成： $A=PDP^{-1}$ 。

因为 $P$ 是方阵，且有单位正交列，所以 $P$ 是正交矩阵，且 $P^{-1}=P^T$ ，因为正交矩阵的定义是，该矩阵可逆且有其转置等于其逆。

总结：如果 $A$ 是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个特征向量是正交的。例如本例中，特征向量 $v1=[−110]v_1=\begin{bmatrix}-1\\1\\0\end{bmatrix}$ 对应的特征空间是过原点及点 $(- 1, 1, 0)$ 的直线，该特征空间由零向量和所有对应于 $λ=8\lambda =8$ 这个特征值的特征向量（即 $v_1$

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