【计算机算法与设计-例题】DFS深度优先搜索树与强连通分量

📋 例题一: 理解深度优先搜索树的逻辑

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🎯 一、理解"点周游"的逻辑

1.1 什么是"点周游"？

点周游（Vertex Traversal）：按照某种顺序系统地访问图中的所有顶点。

DFS的点周游特点：

• 深度优先：选择一条路径，一直走到头
• 回溯：走到头后，返回上一个路口（注意是返回到上一个路口）
• 继续探索：尝试其他未走过的路径

1.2 点周游的执行逻辑

核心思想：像走迷宫一样，一条路走到头，然后回溯。

执行步骤：

1. 选择一个未访问的起点（如 a）
   ↓
2. 访问这个顶点（标记为 GRAY，记录 d[u]）
   ↓
3. 按顺序访问它的每个未访问邻居
   ↓
4. 对每个邻居，递归执行步骤2-3（深度优先）
   ↓
5. 当所有邻居都访问完，标记为完成（标记为 BLACK，记录 f[u]）
   ↓
6. 回溯到父节点
   ↓
7. 如果还有未访问的顶点，从步骤1开始

关键理解：

• 深度优先：从 $a$ 到 $b$ 到 $p$ 到 $f$，一条路走到头
• 回溯：$f$ 完成后，回到 $p$；$p$ 完成后，回到 $b$；$b$ 完成后，回到 $a$
• 继续探索：回到 $a$ 后，继续访问 $a$ 的下一个邻居 $g$

 

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🔄 二、理解"回溯"的逻辑

2.1 什么是"回溯"？

回溯（Backtrack）：当从某个顶点出发的所有路径都探索完后，返回到父节点，继续探索父节点的其他路径。

2.2 回溯的触发条件

什么时候回溯？

1. 当前顶点没有未访问的邻居

   • 例如：$f$ 没有出边，立即回溯

2. 当前顶点的所有邻居都已访问

   • 例如：$p$ 的邻居 $f$ 已访问完，回溯到 $b$

2.3 回溯的执行过程

回溯的步骤：

当前顶点 u 的所有邻居都访问完
  ↓
标记 u 为完成（记录 f[u]）
  ↓
u 从 GRAY 变为 BLACK
  ↓
返回到 u 的父节点 π[u]
  ↓
父节点继续访问下一个未访问的邻居

关键理解：

• 回溯不是结束：回溯只是返回到父节点，继续探索（记忆）
• 回溯是递归返回：就像函数调用栈，完成当前函数后返回调用者
• 回溯后继续：返回到父节点后，继续访问父节点的其他邻居

 

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✅ 三、理解"顶点标记完成"的逻辑

标记完成的条件：

1. 当前顶点没有出边

   • 例如：$f$ 没有出边，立即标记完成

2. 当前顶点的所有邻居都已访问

   • 例如：$p$ 的邻居 $f$ 已访问完，标记 $p$ 完成

3. 所有邻居都已处理（访问或跳过）

   • 例如：$b$ 的邻居 $p$ 已访问完，标记 $b$ 完成

关键理解：

• 完成是递归的：子节点完成后，父节点才能完成
• 完成时间递增：$f(f)<f(p)<f(b)$
• 完成意味着回溯：完成一个顶点后，立即回溯到父节点

时间戳的嵌套关系

重要性质：如果 $v$ 是 $u$ 的儿子，则 $[d(v),f(v)]\subseteq [d(u),f(u)]$

例题验证：

• $b$ 是 $a$ 的儿子：$[2,13]\subseteq [1,26]$ ✓
• $p$ 是 $b$ 的儿子：$[7,12]\subseteq [2,13]$ ✓
• $f$ 是 $p$ 的儿子：$[9,10]\subseteq [7,12]$ ✓

理解：

• 父节点的访问时间区间包含所有子节点的访问时间区间
• 这反映了DFS的递归性质：先完成子节点，再完成父节点（记忆点）

 

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🔙 四、理解"反向边"的逻辑

反向边（Back Edge）：从当前顶点 $u$ 指向其祖先 $v$ 的边。

判断条件：

• 访问边 $(u,v)$ 时，$v$ 是 GRAY（灰色）
• $v$ 是 $u$ 的祖先（在DFS树中，$v$ 是 $u$ 的上层节点）

反向边的作用：

• 检测环：如果存在反向边，说明图中存在环
• 理解图的结构：反向边揭示了图的循环依赖关系

关键理解：

• GRAY = 正在访问 = 祖先：如果 $v$ 是 GRAY，说明 $v$ 在调用栈中，是 $u$ 的祖先
• 反向边形成环：反向边 $(u,v)$ 说明存在从 $v$ 到 $u$ 的路径（DFS树路径），加上边 $(u,v)$，形成环

 

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➕ 五、理解"交叉边"的逻辑

交叉边（Cross Edge）：从当前顶点 $u$ 指向一个既不是其祖先也不是其后代的顶点 $v$ 的边。

判断条件：

• 访问边 $(u,v)$ 时，$v$ 是 BLACK（黑色）
• 且 $d(v)<d(u)$（$v$ 比 $u$ 更早被发现）

交叉边的特点：

• $v$ 已经完成（BLACK）
• $v$ 比 $u$ 更早被发现
• $u$ 和 $v$ 不在同一棵子树中

关键理解：

• BLACK + 更早发现 = 交叉边：如果 $v$ 是 BLACK 且 $d(v)<d(u)$，说明 $v$ 在另一个分支中，$(u,v)$ 是交叉边
• 交叉边连接不同分支：交叉边连接了DFS树中不同的分支

 

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🔍 六、综合理解：边的分类判断流程

快速判断口诀

白色是树边，灰色是反向，
黑色看时间，前向交叉分。

详细解释：

• WHITE → 树边：$v$ 是 $u$ 的儿子
• GRAY → 反向边：$v$ 是 $u$ 的祖先
• BLACK → 看时间戳：
  • $d(u)<d(v)$ → 前向边（$v$ 是 $u$ 的后代）
  • $d(v)<d(u)$ → 交叉边（$u$ 和 $v$ 无直系关系）

例题中的边分类总结

树边（Tree Edge）：

• $(a,b),(b,p),(p,f),(a,g),(g,h),(h,k),(e,d)$ 等

反向边（Back Edge，标记 B）：

• $(j,b)$：$b$ 是 $j$ 的祖先
• $(f,p)$：$p$ 是 $f$ 的祖先
• $(d,a)$：$a$ 是 $d$ 的祖先
• $(s,g)$：$g$ 是 $s$ 的祖先
• $(k,h)$：$h$ 是 $k$ 的祖先
• $(k,k)$：自环，指向自己（GRAY）

前向边（Forward Edge，标记 F）：

• $(a,s)$：$s$ 是 $a$ 的后代，但不在DFS树中（通过其他路径访问）

交叉边（Cross Edge，标记 C）：

• $(e,j)$：$j$ 是 BLACK，$d(j)<d(e)$
• $(h,f)$：$f$ 是 BLACK，$d(f)<d(h)$
• $(h,m)$：$m$ 是 BLACK，$d(m)<d(h)$
• $(g,p)$：$p$ 是 BLACK，$d(p)<d(g)$

 

📝 总结

核心概念理解：

1. 点周游：深度优先探索，回溯继续
2. 回溯：子节点完成后，返回父节点
3. 完成标记：所有邻居访问完，标记为BLACK
4. 反向边：指向祖先（GRAY）的边
5. 交叉边：指向已完成且更早发现的顶点（BLACK + $d(v)<d(u)$）的边

判断流程：

访问边 (u, v)
  ↓
v 是 WHITE？ → 树边
v 是 GRAY？  → 反向边
v 是 BLACK？ → d(u) < d(v)？ → 前向边
              → d(v) < d(u)？ → 交叉边

 

📋 题目二：理解强连通分量

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(b) 列出属于以下每个集合的所有边：

• 反向边的集合：​ (d, a), (m, p), (k, h)
• 前向边的集合：​ (a, e), (a, s)
• 交叉边的集合：(j, b), (c, b), (k, f), (d, s)

© 找出强连通分量并绘制分量图。

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🎯 一、什么是强连通分量？

1.1 强连通的定义

强连通（Strongly Connected）：

• 有向图中，如果从顶点 $u$ 到 $v$ 有路径，且从 $v$ 到 $u$ 也有路径
• 则称 $u$ 和 $v$ 是强连通的

关键理解：

• 双向可达：不仅 $u$ 能到 $v$，$v$ 也能到 $u$
• 有向图特有：无向图中，如果 $u$ 能到 $v$，则 $v$ 一定能到 $u$（因为边是双向的）

1.2 强连通分量的定义

强连通分量（Strongly Connected Component, SCC）：

• 有向图中，任意两个顶点都互相可达的最大顶点集合
• "最大"意味着：不能再加入其他顶点而仍然保持强连通

关键理解：

• 任意两个顶点：分量内的任意两个顶点都互相可达
• 最大：不能再加入其他顶点
• 不相交：不同的强连通分量之间没有公共顶点

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✅ 二、验证每个强连通分量

3.1 分量1：{a, g, d}、{e, h, k, m, p, s} （***有交叉点的不算）

验证：任意两个顶点都互相可达

关键理解：

• 这些顶点之间存在循环路径
• 例如：p → e → h → … → p（形成环）
• 任意两个顶点都可以通过这个环互相到达

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3.2 分量2：{j}、{b}、{c}、{f}

验证：单个顶点
理解：

• 单个顶点 $j$ 自己到自己可达（长度为0的路径）
• 所以 { j } \{j\} {j} 是一个强连通分量

为什么 $j$ 不能和其他顶点在一起？

结论：{j} 是一个强连通分量 ✓

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🔗 三、理解分量图（Component Graph）

分量图（Component Graph）：

• 将每个强连通分量缩成一个顶点
• 如果原图中存在从分量 $A$ 到分量 $B$ 的边，则在分量图中添加边 $A\to B$

关键性质：

• 有向无环图（DAG）：分量图一定是有向无环图
• 拓扑排序：可以对分量图进行拓扑排序
• 简化问题：将复杂的图简化为分量图，更容易分析

理解：

• 分量图将原图"压缩"，每个分量变成一个点
• 分量图反映了不同强连通分量之间的关系
• 分量图是DAG，可以进行拓扑排序

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💡 四、核心思想与常见模式

核心思想：

• 互相可达：不仅 $u$ 能到 $v$，$v$ 也能到 $u$
• 形成环：强连通分量内的顶点形成循环路径
• 最大集合：不能再加入其他顶点

常见模式

模式1：单个顶点

• 单个顶点总是自己的强连通分量

模式2：形成环的顶点

• 如果几个顶点形成环（a → b → c → a），则它们在一个强连通分量中

模式3：复杂的循环结构

• 多个顶点通过复杂的路径形成循环，则它们在一个强连通分量中

💡 记忆口诀：强连通分量互相可达，单个顶点也算分量，形成环的顶点在一起，分量图是DAG可排序！