概率论与数理统计第一章

一、概率与事件

• 概率是某个事件发生的可能性，用0-1区间内的数值表示，因此，概率可重复，事件不可重复。
• 注意：事件之间的运算：交换、分配、结合、德摩根律

二、频率与概率

• 频率是某个事件发生的次数，概率是某个事件发生n次后，频率趋于某个稳定的值，这个值就是概率。
• 概率
  • 定义：非负、规范、可列可加
  • 计算原理
    • 乘法原理：分步走
    • 加法原理：分类，每类均完成
  • 性质
    • P(A-B)=P(A-AB)
    • P($\bar{A}$)=1-P(A)
    • P($A\bigcup B$)=P(A)+P(B)-P(AB)

三、古典概型（等可能概型）

• 样本空间充满区域，度量（长度、面积、体积等等）
• 任意点落在同一度量子区间等可能
• P(A)=$\frac{A}{S}$

四、条件概率

• P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$
• P($B_1\bigcup B_2$|A)=P($B_1$|A)+P($B_2$A)-P($B_1{B}_2$|A)
• P(A-B|C)=P(A|C)-P(AB|C)
• P(AB)=P(A)P(B|A)
• P(ABC)=P(A|BC)P(B|C)P©
• P($\bar{A}$|C)=1-P(A|C)
• 全概率公式及贝叶斯公式
  • 全概率公式
    • 定义：路径模型，一个结果由多条路径可达，这些路径彼此没有交集，要计算整个结果的概率。
    • P(A)=P($B_1$)(P(A|$B_1$)+P($B_2$)(P(A|$B_2$)+$\dots$+P($B_n$)(P(A|$B_n$)
  • 贝叶斯公式
    • 定义：已知整个结果的概率，求某条路径发生的可能性是多少。
    • P($B_i$|A)=$\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(A)}$=$\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{P(B_1)(P(A|B_1)+P(B_2)(P(A|B_2)+\cdots +P(B_n)(P(A|B_n)}$

五、独立性与伯努利概型

• 独立性
  • P(AB)=P(A)P(B)
  • 推广到三个事件
  • 若P(B)>0,AB相互独立，则P(A|B)=P(A)
  • 若P(A)>0,P(B|$\bar{A}$)=P(B|A)，则AB独立==等价于
  • 0<P(A)<1,0<P(B)<1,若P(A|B)+P($\bar{A}$|$\bar{B}$)，则AB独立==等价于
• 伯努利（多重0-1分布）
  • $P_n(k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$