【BZOJ1228】【SDOI2009】E&D（SG函数）

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SG函数

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本文介绍了一种名为E&D的游戏，玩家通过特定规则操作石子堆来决定胜负。文章提供了该游戏的一种解决方案，利用SG函数计算每堆石子的状态，并通过递归公式找到必胜策略。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

小E 与小W 进行一项名为“E&D”游戏。游戏的规则如下：桌子上有2n 堆石子，编号为1..2n。其中，为了方便起见，我们将第2k-1 堆与第2k 堆（1 ≤ k ≤ n）视为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于0。显然，被分割的一堆的石子数至少要为2。两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为1，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。小E 进行第一次分割。他想知道，是否存在某种策略使得他一定能战胜小W。因此，他求助于小F，也就是你，请你告诉他是否存在必胜策略。例如，假设初始时桌子上有4 堆石子，数量分别为1,2,3,1。小E可以选择移走第1堆，然后将第2堆分割（只能分出1 个石子）。接下来，小W 只能选择移走第4 堆，然后将第3 堆分割为1 和2。最后轮到小E，他只能移走后两堆中数量为1 的一堆，将另一堆分割为1 和1。这样，轮到小W 时，所有堆的数量均为1，则他输掉了比赛。故小E 存在必胜策略。

Solution

首先易得SG函数 $g(n,m)=mex_{i+j=n_{or}m}\{g(i,j)\}$
然后打表找规律，然而我菜得连打表程序都写错了。。
然后天天套路的zhou888直接告诉了我结论：
当 $i,j$ 都为奇数时SG函数等于 $0$ ，否则：
$g(i,j)=g(\lfloor\frac{i+1}{2}\rfloor,\lfloor\frac{j+1}{2}\rfloor)+1$

Source

~~头文件比主程序长？！~~

/************************************************
 * Au: Hany01
 * Date: Mar 12th, 2018
 * Prob: [BZOJ1228][SDOI2009] E&D
 * Email: hany01@foxmail.com
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define fir first
#define sec second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define Mod (1000000007)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
    register int _, __; register char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

inline void File()
{
#ifdef hany01
    freopen("bzoj1228.in", "r", stdin);
    freopen("bzoj1228.out", "w", stdout);
#endif
}

inline int SG(int i, int j)
{
    if ((i & 1) && (j & 1)) return 0;
    return SG((i + 1) >> 1, (j + 1) >> 1) + 1;
}

int main()
{
    File();
    for (register int T = read(); T --; ) {
        register int Ans = 0;
        For(i, 1, read() >> 1) Ans ^= SG(read(), read());
        if (Ans) puts("YES"); else puts("NO");
    }
    return 0;
}
//望阙云遮眼，思乡雨滴心。
//    -- 白居易《阴雨》