【SDOI2009】E和D

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本文详细解读了SDOI2009中E和D游戏的规则与策略，通过表格展示游戏SG函数，揭示了必胜策略，并提供了代码实现。适合组合游戏爱好者深入学习。

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【SDOI2009】E和D

【题目描述】

小E与小W进行一项名为“E&D”游戏。游戏的规则如下：
桌子上有2n堆石子，编号为1..2n。其中，为了方便起见，我们将第2k-1堆与第2k堆（1 ≤ k ≤ n）视为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。
一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的石子数必须保证大于0。显然，被分割的一堆的石子数至少要为2。
两个人轮流进行分割操作。如果轮到某人进行操作时，所有堆的石子数均为1，则此时没有石子可以操作，判此人输掉比赛。小E进行第一次分割。他想知道，是否存在某种策略使得他一定能战胜小W。因此，他求助于小F，也就是你，请你告诉他是否存在必胜策略。
例如，假设初始时桌子上有4堆石子，数量分别为1,2,3,1。小E可以选择移走第1堆，然后将第2堆分割（只能分出1个石子）。接下来，小W只能选择移走第4堆，然后将第3堆分割为1和2。最后轮到小E，他只能移走后两堆中数量为1的一堆，将另一堆分割为1和1。这样，轮到小W时，所有堆的数量均为1，则他输掉了比赛。故小E存在必胜策略。

【输入】

第一行是一个正整数T（T ≤ 20），表示测试数据数量。接下来有T组数据。
对于每组数据，第一行是一个正整数N，表示桌子上共有N堆石子。其中，输入数据保证N是偶数。
第二行有N个正整数S1..SN，分别表示每一堆的石子数。

【输出】

包含T行。对于每组数据，如果小E必胜，则输出一行”YES”，否则输出”NO”。

【输入样例】

2
4
1 2 3 1
6
1 1 1 1 1 1

【输出样例】

YES
NO

【数据范围】

对于20%的数据，N = 2；
对于另外20%的数据，N ≤ 4，Si ≤ 50；
对于100%的数据，N ≤ 2×10^4，Si ≤ 2×10^9

【题解】

组合游戏，SG定理计算每一组的Nim和。不过这个数据太大了，因此要找规律计算，所以先打表：

0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 5 
1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 5 5 
0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 4 0 4 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 5 0 5 
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 
0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 5 0 1 0 5 
1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1 5 5 
0 3 0 3 0 3 0 3 0 4 0 4 0 4 0 4 0 3 0 3 0 3 0 3 0 5 0 5 0 5 0 5 
3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 
0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2 0 1 0 4 0 1 0 2 0 1 0 5 0 1 0 2 0 1 0 5 
1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 
0 2 0 2 0 4 0 4 0 2 0 2 0 4 0 4 0 2 0 2 0 5 0 5 0 2 0 2 0 5 0 5 
2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 
0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 4 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 
0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 5 0 1 0 2 0 1 0 3 0 1 0 2 0 1 0 5 
1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 5 5 
0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 5 0 5 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 2 0 5 0 5 
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 
0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 3 0 1 0 3 0 1 0 5 0 1 0 5 
1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1 5 5 
0 3 0 3 0 3 0 3 0 5 0 5 0 5 0 5 0 3 0 3 0 3 0 3 0 5 0 5 0 5 0 5 
3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 
0 1 0 2 0 1 0 5 0 1 0 2 0 1 0 5 0 1 0 2 0 1 0 5 0 1 0 2 0 1 0 5 
1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 
0 2 0 2 0 5 0 5 0 2 0 2 0 5 0 5 0 2 0 2 0 5 0 5 0 2 0 2 0 5 0 5 
2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 
0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 0 1 0 5 
1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 
0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
————————————————————————————————
  1   2   1   3   1   2   1   4   1   2   1   3   1   2   1   5 
1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 5 5 
  2   2   3   3   2   2   4   4   2   2   3   3   2   2   5   5 
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 
  1   3   1   3   1   4   1   4   1   3   1   3   1   5   1   5 
1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1 5 5 
  3   3   3   3   4   4   4   4   3   3   3   3   5   5   5   5 
3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 
  1   2   1   4   1   2   1   4   1   2   1   5   1   2   1   5 
1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 
  2   2   4   4   2   2   4   4   2   2   5   5   2   2   5   5 
2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 
  1   4   1   4   1   4   1   4   1   5   1   5   1   5   1   5 
1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 
  4   4   4   4   4   4   4   4   5   5   5   5   5   5   5   5 
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
  1   2   1   3   1   2   1   5   1   2   1   3   1   2   1   5 
1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 2 1 1 5 5 
  2   2   3   3   2   2   5   5   2   2   3   3   2   2   5   5 
2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 5 5 5 5 
  1   3   1   3   1   5   1   5   1   3   1   3   1   5   1   5 
1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 5 5 1 1 5 5 
  3   3   3   3   5   5   5   5   3   3   3   3   5   5   5   5 
3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 
  1   2   1   5   1   2   1   5   1   2   1   5   1   2   1   5 
1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 5 5 
  2   2   5   5   2   2   5   5   2   2   5   5   2   2   5   5 
2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 5 5 5 5 
  1   5   1   5   1   5   1   5   1   5   1   5   1   5   1   5 
1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 
  5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
————————————————————————————————
              3               4               3               5 
            3 3             4 4             3 3             5 5 
          3   3           4   4           3   3           5   5 
        3 3 3 3         4 4 4 4         3 3 3 3         5 5 5 5 
      3       3       4       4       3       3       5       5 
    3 3     3 3     4 4     4 4     3 3     3 3     5 5     5 5 
  3   3   3   3   4   4   4   4   3   3   3   3   5   5   5   5 
3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 
              4               4               5               5 
            4 4             4 4             5 5             5 5 
          4   4           4   4           5   5           5   5 
        4 4 4 4         4 4 4 4         5 5 5 5         5 5 5 5 
      4       4       4       4       5       5       5       5 
    4 4     4 4     4 4     4 4     5 5     5 5     5 5     5 5 
  4   4   4   4   4   4   4   4   5   5   5   5   5   5   5   5 
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 
              3               5               3               5 
            3 3             5 5             3 3             5 5 
          3   3           5   5           3   3           5   5 
        3 3 3 3         5 5 5 5         3 3 3 3         5 5 5 5 
      3       3       5       5       3       3       5       5 
    3 3     3 3     5 5     5 5     3 3     3 3     5 5     5 5 
  3   3   3   3   5   5   5   5   3   3   3   3   5   5   5   5 
3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 5 5 5 5 5 5 5 5 
              5               5               5               5 
            5 5             5 5             5 5             5 5 
          5   5           5   5           5   5           5   5 
        5 5 5 5         5 5 5 5         5 5 5 5         5 5 5 5 
      5       5       5       5       5       5       5       5 
    5 5     5 5     5 5     5 5     5 5     5 5     5 5     5 5 
  5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5   5 
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 

最上面是（1..32，1..32）的所有SG函数值，第二张去掉了必败状态，第三张为了更容易看清只打印了3以上的值。这样规律就一目了然了，显然这样的三角形是可以递归构建的，Nim和也就更容易计算了。

个人觉得这道题很不错，适合用来组合游戏练手，其中涉及了SG函数的计算和寻找规律，都是组合游戏里重要的思想。

【代码】

找到规律以后，就是水杀了~

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题目描述 小E 与小W 进行一项名为“E&D”游戏。 游戏的规则如下： 桌子上有2n 堆石子，编号为1..2n。其中，为了方便起见，我们将第2k-1 堆与第2k 堆 （1 ≤ k ≤ n）视为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。 一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆 石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作...
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这种题就是考验找规律能力，而且还很难、 而且好多题都是这种题，都是找规律题，证明网上一个也没有 直接给规律： if(a%2&&b%2)sg(a,b)=0; sg(a,b)=sg((a+1)/2,(b+1)/2)+1; 尝试证明，结果并证不出来、、以前还有一个斐波那契数列中没出现过的数字的斐波那契数列，也是找规律，证明也没有 简直是毒瘤题 码： #include #i
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传送门 分析 https://www.luogu.org/blog/flashblog/solution-p2148 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main(){ int t,n,i,x,y,Ans,cnt; scanf("%d",&t); while(t--...
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题解：将一组看成一个局面，打表算出SG，找规律 #include #include #include #include #include #include using namespace std; typedef long long LL; const int N=1e4+10; int n; int dfs(int x,int y)//这个规律很神奇 { long l
[SDOI2009]E&D (博弈论+SG函数打表找规律)
crosnken的博客
11-01 320
题目描述 小E与小W进行一项名为“E&D”游戏。游戏的规则如下：   桌子上有2n堆石子，编号为1..2n。其中，为了方便起见，我们将第2k-1堆与第2k堆（1 ≤ k ≤ n）视为同一组。第i堆的石子个数用一个正整数Si表示。   一次分割操作指的是，从桌子上任取一堆石子，将其移走。然后分割它同一组的另一堆石子，从中取出若干个石子放在被移走的位置，组成新的一堆。操作完成后，所有堆的...
【BZOJ1228】【SDOI2009】E&D
cz_xuyixuan的博客
04-19 242
【题目链接】点击打开链接【思路要点】补档博客，无题解。【代码】#include&lt;bits/stdc++.h&gt; using namespace std; #define MAXN 1005 int get(int x, int y) { if (x % 2 == 1 &amp;&amp; y % 2 == 1) return 0; else return get((x + 1) / ...
[luogu2148 SDOI2009] E&D (博弈论)
Tricksterism
10-13 135
[luogu2148 SDOI2009] E&amp;D (博弈论) 传送门 Solution 我们知道当SG不为0则先手必胜，然后就可以打表了￣▽￣ Code //By Menteur_Hxy #include &lt;cmath&gt; #include &lt;cstdio&gt; #include &lt;cstdlib&gt; #incl...
SDOI2009
slongle的专栏
04-07 734
[BZOJ1875] [SDOI2009]HH去散步 题目大意 给定n(n≤20)n(n\le20)个点,m(m≤60)m(m\le60)条边的无向图(有重边,无自环),要求沿一条边的某一方向走完后不能立即走同一条边的反向,每条边长为1,询问从S到TS到T路径长度为PP的方案数 题解 有2∗m2*m条有向边,构造矩阵,若从第i条边的终点可以走第j条边,那么x[i,j]=1x[i,j]=1,这样构
P2152 [SDOI2009] SuperGCD解答
最新发布
03-16
P2152 [SDOI2009] SuperGCD是一道经典的算法题，目标是计算两个大整数的最大公约数 (GCD)，并输出结果。由于题目中的数字规模非常庞大（每个数字可能有超过1万位），普通的欧几里得算法无法直接使用内置数据类型完成...
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