NOIP实用算法 4.贪心方法

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转载最新推荐文章于 2026-06-11 09:18:49 发布 2.2k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

NOIP复习篇———贪心阅读详情

4.贪心方法
a.工程计划模型
b.部分背包与每步最优
c.构造贪心算法

a.工程计划模型

我们常常碰到这样的问题：完成一个工程需要若干个步骤，每个步骤都有若干种方法，图示——

步骤a  步骤b  步骤c  ... 步骤n
       方法b1 方法c1
方法a1 方法b2 方法c2     方法n1
方法a2 方法b3 方法c3
              方法c4

每个方法有一个权值（如效率、质量），其大小往往和其他步骤中选取的方法有关。有些时候权值无意义，表示方法不可选择。要求给出一个方法组合，是权值和最大。
在这里，暂且把它称作“工程计划”。很多实际问题都可以归纳为这个模型。
对于不同形式的工程计划，我们有不同的解法。
若权值与整个过程或前后步骤的方法选择都有关，我们使用搜索算法——时间复杂度高得吓人。
若每个权值只与上（或下）一步或少数几步的方法选择都有关，我们使用动态规划——有比较高的效率，在下一章会讲到。
若每个权值与其他步骤的方法选择都没有关系，我们使用贪心方法。

b.部分背包与每步最优

强调：每个权值与其他步骤的方法选择都没有关系。这样每步最优就可以得到全局最优——每一步都取最大的权值就可以了。
换而言之，贪心算法要求，局部的贪心选择，可以组成全局的最优解。
在实际问题中，这是需要证明的。如果这个无法证明，贪心算法所得的解不是最优解，一般只是较优解（较优解可为搜索剪枝提供方便）。

下面是贪心算法最经典的例子：部分背包问题。（下一章会讲到另外两种背包问题。）
问题：有N件物品和一个最大载重为M的背包，每件物品都有相应的重量和价值。现要求给出一个存放方案，使背包中物品总价值最大。部分背包要求，每件物品都可只装入它的一部分（部分重量有成比例的部分价值）。所涉及到的数字均为整数。
（注：有时该问题表述为体积形式，即背包体积有限，每件物品有体积和价值。在本系列我选择表述为重量形式。）
思路：背包中物品总价值最高，即单位重量物品价值最高。显然，应该多装单位重量价值高的物品。这样，我们先装入单位重量价值最高的物品，再装入第二高的……直到重量达到M（有必要时最后一件物品只装一部分），已达到物品总价值最高。
这个证明应该很严谨吧～
该算法时间复杂度O(n)，效率很高；而且实现很容易。这些是贪心法最大的特点。

很多竞赛题看似可以用贪心法，其实贪心法得不到最优解，原因是每一步的选择对其他步骤有影响。
数字三角形问题：有一个数字三角形（如下图）。现有一只蚂蚁从顶层开始向下走，每走下一级时，可向左下方向或右下方向走。求走到底层后它所经过的数的最大值。

如果用贪心法，每次向最大的方向走，得到结果为1+6+8+2+3=20。可是明明还有另一条路，1+3+6+6+7=23。
问题出在哪？每次的选择对后面的步骤会有影响！第三级选了8，就选不到第四、五级较大的数了。
这个问题正确的解法会在下一章介绍。
有一个很实用的小技巧：竞赛题会给出数据规模。通过数据规模，我们可以大致判断该用何种算法。贪心算法可承受的数据规模很大，一般都会上万。如果给出的数据规模是100或1000，优先考虑动态规划吧。

c.构造贪心算法

构造与证明是贪心算法的难点，常常要求我们要有敏锐的观察力、多角度思考的变通能力、丰富的数学知识和推理能力。
下面举几个贪心算法的例子，供大家揣摩、掌握规律。

删数问题：给出一个N位的十进制高精度数，要求从中删掉S个数字（其余数字相对位置不得改变），使剩余数字组成的数最小。
算法构造：
1.每次找出最靠前的这样的一对数字——两个数字紧邻，且前面的数字大于后面的。删除这对数字中靠前的一个。
2.重复步骤1，直至删去了S个数字或找不到这样的一对数。
3.若还未删够S个数字，则舍弃末尾的部分数字，取前N-S个。
证明思路：显然，在只删一个数字时，唯有步骤1的方法能使数变小；可推理得出，删多个数字时，所有最优的方法都可看做是对步骤1的重复。也就是说，以上方法是最优策略之一。
在文末的附件中给出了这个算法的源代码。

工序问题：n件物品，每件需依次在A、B机床上加工。已知第i件在A、B所需加工时间分别为A[i]、B[i]，设计一加工顺序，使所需加工总时间最短。
算法构造：
1.设置集合F、M、S：先加工F中的，再加工M中的，最后加工S中的。
2.对第i件，若A[i]>B[i]，则归入S；若A[i]=B[i]，则归入M。
3.对F中的元素按A[i]升序排列，S中的按B[i]降序排列。
证明思路：
1.F中的能“拉开”A、B加工同一件工件的结束时刻，为后面的工件加工“拉开时间差”，利于节省总时间。S中的刚好相反。因而，F中元素放在最前一定是最优策略之一。
2.F中A[i]小的前置，可以缩短开始时B的空闲时间，但会使F所有工件“拉开的时间差”缩短。不过可以证明，后者带来的损失不大于前者获得的优势。对称地，对S也一样。因而步骤3是可行的。

种树问题：一条街道分为n个区域（按1-n编号），每个都可种一棵树。有m户居民，每户会要求在区域i-j区间内种至少一棵树。现求一个能满足所有要求且种树最少的方案。
算法构造：
1.对于要求，以区间右端（升序）为首要关键字，左端（升序）为次要关键字排序。
2.按排好的序依次考察这些要求，若未满足，则在其最右端的区域种树，这时可能会满足多个要求。
证明思路：解法并不唯一，关键是证明没有比该解法更好的解法。按步骤1排序之后，会发现对于每个要求，在最右边的区域内种树所得的结果总不会差于在其他区域种树。至于为什么这样排序，留给你——读者们思考吧。
在文末的附件中给出了这个算法的源代码。

//删数问题 
//This C source file for program "Delete Number" is written by LastLeaf
//blog.programet.cn
//Edit 3

#include "stdio.h"

#define N_MAX 100
#define S_MAX 90
#define L_MAX (N_MAX-S_MAX)

int In[N_MAX+1],Out[N_MAX];

void cal(int *stIn,int lenIn,int *stOut,int lenOut)
{
	int iIn=0,iOut=0,dc;
	
	dc=lenIn-lenOut;
	
	for(;iIn<lenIn;)
		if(stIn[iIn]>stIn[iIn+1] && dc)
		{
			if(iOut>0)stIn[iIn]=stOut[--iOut];
			else iIn++;
			dc--;
		}
		else
			stOut[iOut++]=stIn[iIn++];
	
	return;
}

int main()
{
	int i,N,S;
	char c;
	FILE *fp;

	fp=fopen("DeleteNumber.in","r");
	fscanf(fp,"%d %d\n",&N,&S);
	for(i=0;i<N;i++)
	{
		fscanf(fp,"%c",&c);
		In[i]=c-'0';
	}
	In[i]=10;
	fclose(fp);
	
	cal(In,N,Out,N-S);

	fp=fopen("DeleteNumber.out","w");
	for(i=0;i<N-S;i++)
	{
		fprintf(fp,"%d",Out[i]);
	}
	fprintf(fp,"\n");
	fclose(fp);

    return 0;
}

//种树问题
//一条街道分为n个区域（按1-n编号），每个都可种一棵树。有m户居民，每户会要求在区域i-j区间内种至少一棵树。现求一个能满足所有要求且种树最少的方案。
//written by LastLeaf
//blog.programet.cn

#include <stdio.h> 
int main()
{
	FILE *fp;
	int N,H,B[5001],E[5001],T[5001],i,ii,m,n,P[30001],total=0,right,down;
	
	fp=fopen("trees.in","r");
	fscanf(fp,"%d\n%d\n",&N,&H);
	for(i=0;i<H;i++)
	{
		fscanf(fp,"%d %d %d",&B[i+1],&E[i+1],&T[i+1]);
		for(ii=0;ii<i;ii++)if(B[i+1]<=B[ii])break;
		for(;B[i+1]==B[ii];ii++)if(E[i+1]<E[ii])break;
		if(ii!=i)
			for(m=i;m>ii;m--)
			{
				B[m]=B[m-1];
				E[m]=E[m-1];
				T[m]=T[m-1];
			}
		B[ii]=B[i+1];
		E[ii]=E[i+1];
		T[ii]=T[i+1];
	}
	close(fp);
	
	for(i=0;i<=N;i++)P[i]=0;//初始化 
	for(i=0;i<H;i++)
	{
		while(T[i]>0)
		{
			right=E[i];
			//选择位置
			for(down=i+1;B[down]<=right && down<H;down++)
				if(E[down]<right)right=E[down];
			for(;P[right]==1;right--);
			//种树
			total++;
			P[right]=1;
			for(ii=i;ii<down;ii++)
			{
				if(right>=B[ii])
				{
					T[ii]--;
					if(T[ii]==0)
					{
						B[ii]=-1;
						E[ii]=N+1;
					}
				}
			} 
		}
	}
	
	fp=fopen("trees.out","w");
	fprintf(fp,"%d\n",total);
	for(i=1;i<=N;i++)
		if(P[i]==1)fprintf(fp,"%d ",i);
	fprintf(fp,"\n");
	fclose(fp);
	return 0;
}

http://blog.programet.org/2009/07/noip%E5%AE%9E%E7%94%A8%E7%AE%97%E6%B3%95-4-%E8%B4%AA%E5%BF%83%E6%96%B9%E6%B3%95.html#comment-11144

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