C++ 如何检查给定点是位于多边形内还是外(How to check if a given point lies inside or outside a polygon)

给定一个多边形和一个点 ' p '，判断 ' p ' 是否位于多边形内部。位于边界上的点被视为内部。

例子：

方法：解决这个问题的思路是基于如何检查两个给定的线段是否相交，使用方法如下：

文章：
Javascript 如何检查两个给定的线段是否相交：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/141714442

Java 如何检查两个给定的线段是否相交：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/141713762

Python 如何检查两个给定的线段是否相交：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/141714389

C# 如何检查两个给定的线段是否相交：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/141714420

C++ 如何检查两个给定的线段是否相交：https://blog.youkuaiyun.com/hefeng_aspnet/article/details/141713655

方法：
1、在每个点的右侧画一条水平线，并延伸至无穷大

2、计算线与多边形边相交的次数。

3、如果交点数为奇数或点位于多边形的边缘，则该点位于多边形内部。如果任何条件都不成立，则该点位于多边形外部。

如何处理上图中的点‘g’？

请注意，如果点位于给定多边形的线或与给定多边形的顶点之一相同，则应返回 true。为了处理这个问题，在检查从“p”到极端的线是否相交后，我们检查“p”是否与多边形当前线的顶点共线。如果共线，则检查点“p”是否位于多边形的当前侧，如果位于，则返回 true，否则返回 false。

以下是上述方法的实现：

// C++ program for the above approach
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Point {
double x, y;
};

// Checking if a point is inside a polygon
bool point_in_polygon(Point point, vector<Point> polygon)
{
   int num_vertices = polygon.size();
   double x = point.x, y = point.y;
   bool inside = false;

   // Store the first point in the polygon and initialize
   // the second point
   Point p1 = polygon[0], p2;

   // Loop through each edge in the polygon
   for (int i = 1; i <= num_vertices; i++) {
       // Get the next point in the polygon
       p2 = polygon[i % num_vertices];

       // Check if the point is above the minimum y
       // coordinate of the edge
       if (y > min(p1.y, p2.y)) {
           // Check if the point is below the maximum y
           // coordinate of the edge
           if (y <= max(p1.y, p2.y)) {
               // Check if the point is to the left of the
               // maximum x coordinate of the edge
               if (x <= max(p1.x, p2.x)) {
                   // Calculate the x-intersection of the
                   // line connecting the point to the edge
                   double x_intersection
                       = (y - p1.y) * (p2.x - p1.x)
                           / (p2.y - p1.y)
                       + p1.x;

                   // Check if the point is on the same
                   // line as the edge or to the left of
                   // the x-intersection
                   if (p1.x == p2.x
                       || x <= x_intersection) {
                       // Flip the inside flag
                       inside = !inside;
                   }
               }
           }
       }

       // Store the current point as the first point for
       // the next iteration
       p1 = p2;
   }

// Return the value of the inside flag
return inside;
}

// Driver code
int main()
{
// Define a point to test
Point point = { 150, 85 };

   // Define a polygon
   vector<Point> polygon = {
       { 186, 14 }, { 186, 44 }, { 175, 115 }, { 175, 85 }
   };

   // Check if the point is inside the polygon
   if (point_in_polygon(point, polygon)) {
       cout << "Point is inside the polygon" << endl;
   }
   else {
       cout << "Point is outside the polygon" << endl;
   }

return 0;
}

输出：

Point is outside the polygon

时间复杂度： O(n)，其中 n 是给定多边形的顶点数。

辅助空间： O(1)，因为没有占用额外空间。