java 检查给定点是否位于三角形内（Check whether a given point lies inside a triangle or not）

给定三角形的三个角点和一个点P。编写一个函数来检查P是否位于三角形内。

例子：

输入：A=（0,0），B=（10,30），C=（20,0），P（10,15）

输出：内部

说明： 

输入：A=（0,0），B=（10,30），C=（20,0），P（30,15）

输出：外部

说明： 

解决方案：

    设三个角的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）。给定点P的坐标为（x，y）

    1、计算给定三角形的面积，即上图中三角形ABC的面积。面积A=[x1（y2-y3）+x2（y3-y1）+x3（y1-y2）]/2

    2、计算三角形PAB的面积。我们可以用同样的公式。让这个区域为A1。

    3、计算三角形PBC的面积。让这个区域为A2。

    4、计算三角形PAC的面积。让这个区域为A3。

    5、如果P位于三角形内，则A1+A2+A3必须等于A。 

示例代码： 

// JAVA Code for Check whether a given point 
// lies inside a triangle or not
import java.util.*;
 
class GFG {
     
    /* A utility function to calculate area of triangle 
       formed by (x1, y1) (x2, y2) and (x3, y3) */
    static double area(int x1, int y1, int x2, int y2,
                                        int x3, int y3)
    {
       return Math.abs((x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1)+
                                    x3*(y1-y2))/2.0);
    }
      
    /* A function to check whether point P(x, y) lies
       inside the triangle formed by A(x1, y1),
       B(x2, y2) and C(x3, y3) */
    static boolean isInside(int x1, int y1, int x2,
                int y2, int x3, int y3, int x, int y)
    {   
       /* Calculate area of triangle ABC */
        double A = area (x1, y1, x2, y2, x3, y3);
      
       /* Calculate area of triangle PBC */ 
        double A1 = area (x, y, x2, y2, x3, y3);
      
       /* Calculate area of triangle PAC */ 
        double A2 = area (x1, y1, x, y, x3, y3);
      
       /* Calculate area of triangle PAB */  
        double A3 = area (x1, y1, x2, y2, x, y);
        
       /* Check if sum of A1, A2 and A3 is same as A */
        return (A == A1 + A2 + A3);
    }
     
    /* Driver program to test above function */
    public static void main(String[] args) 
    {
        /* Let us check whether the point P(10, 15)
           lies inside the triangle formed by 
           A(0, 0), B(20, 0) and C(10, 30) */
       if (isInside(0, 0, 20, 0, 10, 30, 10, 15))
           System.out.println("Inside");
       else
           System.out.println("Not Inside");
             
    }
}
 
// This code is contributed by Arnav Kr. Mandal. 

输出：
    Inside

时间复杂度：O（1）

辅助空间：O（1）

练习：给定一个矩形的四个角和一个点P的坐标。编写一个函数来检查P是否位于给定的矩形内。

        另一种方法——使用重心坐标法：下面是使用重心坐标方法检查点P是否位于三角形ABC内的算法：

定义一个函数“isInsideTriangle”，它接受四个输入参数：A、B、C和P。

计算点P相对于三角形ABC的重心坐标。为此，我们首先需要计算三角形ABC的面积。我们可以使用叉积来计算三角形ABC的面积，如下所示：

面积（ABC）=0.5*||AB x AC||，其中||AB×AC||是向量AB和AC的叉积的大小。

然后，我们可以计算点P的重心坐标为：
    1、a=0.5*|PB x PC ||/面积（ABC）

    2、b=0.5*||PC x PA ||/面积（ABC）

    3、c=0.5*||PA x PB||/面积（ABC），其中PB、PC和PA分别是从点P到点B、C和A的向量。

如果所有三个重心坐标都是非负的，则点P位于三角形ABC内。返回“内部”。否则，点P位于三角形ABC之外。返回“外部”。

以下是上述方法的示例：

import java.awt.Point;
 
class Main 
{
 
  // Function to check if the point is inside
  // the triangle or not
  public static String isInsideTriangle(Point A, Point B, Point C, Point P)
  {
 
    // Calculate the barycentric coordinates
    // of point P with respect to triangle ABC
    double denominator = ((B.y - C.y) * (A.x - C.x) +
                          (C.x - B.x) * (A.y - C.y));
    double a = ((B.y - C.y) * (P.x - C.x) +
                (C.x - B.x) * (P.y - C.y)) / denominator;
    double b = ((C.y - A.y) * (P.x - C.x) +
                (A.x - C.x) * (P.y - C.y)) / denominator;
    double c = 1 - a - b;
 
    // Check if all barycentric coordinates
    // are non-negative
    if (a >= 0 && b >= 0 && c >= 0) {
      return "Inside";
    } else {
      return "Outside";
    }
  }
 
  public static void main(String[] args) {
    Point A = new Point(0, 0);
    Point B = new Point(10, 30);
    Point C = new Point(20, 0);
    Point P = new Point(10, 15);
 
    // Call the isInsideTriangle function with
    // the given inputs
    String result = isInsideTriangle(A, B, C, P);
 
    // Print the result
    System.out.println(result);
  }
}

输出：
    Inside

时间复杂度：O（1）

辅助空间：O（1）