C# 检查给定点是否位于三角形内（Check whether a given point lies inside a triangle or not）

给定三角形的三个角点和一个点P。编写一个函数来检查P是否位于三角形内。

例子：

输入：A=（0,0），B=（10,30），C=（20,0），P（10,15）

输出：内部

说明： 

输入：A=（0,0），B=（10,30），C=（20,0），P（30,15）

输出：外部

说明： 

解决方案：

    设三个角的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，y3）。给定点P的坐标为（x，y）

    1、计算给定三角形的面积，即上图中三角形ABC的面积。面积A=[x1（y2-y3）+x2（y3-y1）+x3（y1-y2）]/2

    2、计算三角形PAB的面积。我们可以用同样的公式。让这个区域为A1。

    3、计算三角形PBC的面积。让这个区域为A2。

    4、计算三角形PAC的面积。让这个区域为A3。

    5、如果P位于三角形内，则A1+A2+A3必须等于A。 

示例代码： 

// C# Code to Check whether a given point
// lies inside a triangle or not
using System;
 
class GFG {
 
    /* A utility function to calculate area of triangle 
    formed by (x1, y1) (x2, y2) and (x3, y3) */
    static double area(int x1, int y1, int x2, 
                       int y2, int x3, int y3)
    {
        return Math.Abs((x1 * (y2 - y3) +
                         x2 * (y3 - y1) + 
                         x3 * (y1 - y2)) / 2.0);
    }
 
    /* A function to check whether point P(x, y) lies
    inside the triangle formed by A(x1, y1),
    B(x2, y2) and C(x3, y3) */
    static bool isInside(int x1, int y1, int x2,
                         int y2, int x3, int y3, 
                         int x, int y)
    {
        /* Calculate area of triangle ABC */
        double A = area(x1, y1, x2, y2, x3, y3);
 
        /* Calculate area of triangle PBC */
        double A1 = area(x, y, x2, y2, x3, y3);
 
        /* Calculate area of triangle PAC */
        double A2 = area(x1, y1, x, y, x3, y3);
 
        /* Calculate area of triangle PAB */
        double A3 = area(x1, y1, x2, y2, x, y);
 
        /* Check if sum of A1, A2 and A3 is same as A */
        return (A == A1 + A2 + A3);
    }
 
/* Driver program to test above function */
public static void Main()
{
    /* Let us check whether the point P(10, 15)
    lies inside the triangle formed by 
    A(0, 0), B(20, 0) and C(10, 30) */
    if (isInside(0, 0, 20, 0, 10, 30, 10, 15))
        Console.WriteLine("Inside");
    else
        Console.WriteLine("Not Inside");
}
}
 
// This code is contributed by vt_m. 

输出：
    Inside

时间复杂度：O（1）

辅助空间：O（1）

练习：给定一个矩形的四个角和一个点P的坐标。编写一个函数来检查P是否位于给定的矩形内。

        另一种方法——使用重心坐标法：下面是使用重心坐标方法检查点P是否位于三角形ABC内的算法：

定义一个函数“isInsideTriangle”，它接受四个输入参数：A、B、C和P。

计算点P相对于三角形ABC的重心坐标。为此，我们首先需要计算三角形ABC的面积。我们可以使用叉积来计算三角形ABC的面积，如下所示：

面积（ABC）=0.5*||AB x AC||，其中||AB×AC||是向量AB和AC的叉积的大小。

然后，我们可以计算点P的重心坐标为：
    1、a=0.5*|PB x PC ||/面积（ABC）

    2、b=0.5*||PC x PA ||/面积（ABC）

    3、c=0.5*||PA x PB||/面积（ABC），其中PB、PC和PA分别是从点P到点B、C和A的向量。

如果所有三个重心坐标都是非负的，则点P位于三角形ABC内。返回“内部”。否则，点P位于三角形ABC之外。返回“外部”。

以下是上述方法的示例：

using System;
 
public class PointInsideTriangle
{
    // Function to check if the point is inside
    // the triangle or not
    public static string IsInsideTriangle(int[] A, int[] B, int[] C, int[] P)
    {
        // Calculate the barycentric coordinates
        // of point P with respect to triangle ABC
        double denominator = ((B[1] - C[1]) * (A[0] - C[0]) + (C[0] - B[0]) * (A[1] - C[1]));
        double a = ((B[1] - C[1]) * (P[0] - C[0]) + (C[0] - B[0]) * (P[1] - C[1])) / denominator;
        double b = ((C[1] - A[1]) * (P[0] - C[0]) + (A[0] - C[0]) * (P[1] - C[1])) / denominator;
        double c = 1 - a - b;
 
        // Check if all barycentric coordinates
        // are non-negative
        if (a >= 0 && b >= 0 && c >= 0)
        {
            return "Inside";
        }
        else
        {
            return "Outside";
        }
    }
 
    // Driver Code
    public static void Main(string[] args)
    {
        int[] A = { 0, 0 };
        int[] B = { 10, 30 };
        int[] C = { 20, 0 };
        int[] P = { 10, 15 };
 
        // Call the IsInsideTriangle function with
        // the given inputs
        string result = IsInsideTriangle(A, B, C, P);
 
        // Print the result
        Console.WriteLine(result);
    }
}

输出：
    Inside

时间复杂度：O（1）

辅助空间：O（1）