非线性控制2:反馈线性化

本文讨论了非线性控制系统的反馈线性化方法,涉及输入-输出关系、内稳定性和零动态的概念,指出x2变量存在奇点可能导致仿真问题。通过线性化处理,作者还探讨了系统稳定性与零点、零动态的关系,并举例说明了如何通过状态变换简化计算。

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非线性控制:反馈线性化

输入-状态,输入-输出,内稳定,零动态,微分几何,李导数。这一部分会接触到更多的微分几何,有待进一步完善。

6.3

x˙1=sinx2x˙2=x14cosx2+u \begin{align} \dot{x}_1 &= sin x_2 \\ \dot{x}_2 &= x_1^4cosx_2+u \end{align} x˙1x˙2=sinx2=x14cosx2+u

输出线性化,可得:
u=−k1x˙1+k1x˙1,d−k2x1+k2x1,d+x¨1,dcosx2−x14cosx2 u = \frac{-k_1\dot{x}_1 + k_1\dot{x}_{1,d}-k_2x_1+k_2x_{1,d}+\ddot{x}_{1,d}}{cosx_2} - x_1^4cosx_2 u=cosx2k1x˙1+k1x˙1,dk2x1+k2x1,d+x¨1,dx14cosx2
可见x2x_2x2是存在奇点的情况的(分母为0),这也会导致simulink连续情况的仿真失败,调整成离散时间求解器即可。为了更合理也可进行在分母加上0.001之类的操作,反而会使控制率更光滑。

在这里插入图片描述

结果:
在这里插入图片描述

6.4

x˙1=ux˙2+x2=(1+x2+x22)x1 \begin{align} \dot{x}_1 &= u\\ \dot{x}_2 + x_2 &= (1 + x_2 +x_2^2)x_1 \end{align} x˙1x˙2+x2=u=(1+x2+x22)x1

x1=0x_1 = 0x1=0是零动态,虽然x2x_2x2在零动态下依然稳定,但是本质上x˙2=1+x˙22\dot{x}_2 = 1 + \dot{x}_2^2x˙2=1+x˙22的原函数为tant+Ctant+Ctant+C,也就是说在0−π/20-\pi/20π/2这一时间范围,只要x1x_1x1大于1,x2x_2x2会以大于tanttanttant的速度发散。

6.5

线性方程的零点、零动态、内稳定、非最小相位之间的关系

零点右半平面 -> 零动态/内稳定不稳 -> 非最小相位
y=1a0+a1p+a2p2+p3[b0+b1p]u y = \frac{1}{a_0+a_1p+a_2p^2+p^3}[b_0+b_1p]u y=a0+a1p+a2p2+p31[b0+b1p]u
这个例子很好,要求y=0y = 0y=0uuu发散与否取决于u˙+b0b1p=0\dot{u}+\frac{b_0}{b_1}p = 0u˙+b1b0p=0,所代表的uuu是否发散,即取决于零点位置。

6.6

检验下述系统的输入-状态线性化
ddt[x1x2x3]=[x2+x22+x32x3+sin(x1−x3)x32]+[101]u \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 + x_2^2 + x_3^2\\ x_3+sin(x_1 - x_3)\\ x_3^2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix}u dtdx1x2x3=x2+x22+x32x3+sin(x1x3)x32+101u
能否由z1=x1−x2z2=x2+x22z3=x3+sin(x1−x3)+2x2[x3+sin(x1−x3)]z_1 = x_1 - x_2\quad z_2 = x_2+x_2^2\quad z_3 = x_3+sin(x_1-x_3)+2x_2[x_3+sin(x_1-x_3)]z1=x1x2z2=x2+x22z3=x3+sin(x1x3)+2x2[x3+sin(x1x3)] 作为线性化状态。

反馈线性化需要对能控性条件以及对合条件判断,但是这个这么算就太复杂了,这也能看出来,哪怕是很基础的非线性,三阶系统,不借助软件,手算是十分做牢的。这个之间对zzz求导数,满足上三角形式,并且z3z_3z3可以由uuu表示,所以可以。

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