非线性控制1：描述函数法

描述函数法（Describing Function Analysis）

描述函数法依然属于线性系统中频率响应的扩展应用，优点就是比较容易设计，缺点也是显然的，理论性不足，比较依赖于假设，不是万能的，也不是很准确，但是工程价值还是有的。
适用于：

1. 只有一个非线性元件（很多时候把非线性合并到一起）
2. 非线性时不变
3. 只考虑基波分量

具体需要一些些傅里叶变换，再忽略高次谐波…blablabla。
例1.确定下图是否存在一个极限环，若存在，频率幅值是多少。

开关效应的描述函数为:
$$N=4/(\pi A)$$
那么对于$j\omega$的输入而言，有$G(j\omega )=-1/N$，$\omega =\sqrt{2}Hz$(角频率)时，有极限环。
例2.如下系统是否存在极限环，$G(p)=-5p/(p^2+p+25)$

算一下可以发现$\omega =5Hz$(角频率)时，有极限环。由于饱和特性不会影响频率特性，无相角特性，所以振荡频率很准确，不会因为扰动和初值而改变。也可以解释为若无饱和环节的闭环系统本来就是不稳定的，系统逐渐发散，未饱和不稳定，饱和以后也不能停留在饱和值，但是饱和环节制约了系统进一步增长，所以极限环振荡，下图为简单仿真结果。