闻缺陷则喜何志丹

x系列是变量，y系列是常量，差分系统由若干如下不等式组成。x1-x2 <= y1 x2-x3 <= y2 $\cdots$

性质五：f(j) < i <= j， f(j)中1的个数不会多于f(i)。性质二，f(x)= x&(x-1) ，即将最低位的1变成0，f(6)=4。令i的最后一个1是第k4位，只讨论比k4高的位，f(j)<=i，否则整个f(j)>i。比k4高的位f(i)等于i，故f(j)和f(i)k4为之前部分相等。a[i]+= x，等于data[i]+=x，按如下方式迭代i: i +g(x)。如果f(j)>f(i),说明i的最低位1后面有1，根据性质四，无法如何j都不会大于i。求a[i]的值：即区间a[i…

解ax+by=gcd(a,b) a,b无需互质，可以全部或部分为负数。

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

哈曼顿距离：max(x1-x2,x2-x1)+max(y1-y2,y2-y1) = max(x1-x2+y1-y2,x1-x2+y2-y1,x2-x1+y1-y2,x2-x1+y2-y1)利用f(x,y)=(x+y,x-y)将点1(x1,y1)点2（x2,y2）转成点3(x3,y3)和点4(x4,y4)后，点1到点2的哈曼顿距离等于点3到点4的切比雪夫距离。切比雪夫距离：max(|x1-x2|,|y1-y2|)。= max(|x3-x4|,|y3-y4|)即点3到点4的切比雪夫距离。三维：(x,y,z)

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。贪心算法的正确性必须证明。常见的证明方法有五种：一，反证法。二，数学归纳法。三，决策包容性。 四，扩展决策范围。五，临项交换。

队列（Queue）是一种基本的线性数据结构，它遵循先进先出（First In First Out, FIFO）的原则。这意味着最先被添加到队列中的元素将会是最先被移除的。和生活中，无人插队的队列一样。队列内部实现可能是连续空间，也可能是多段空间。

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（大根堆）；每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（小根堆）。从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以使用层序的规则采用顺序的方式来高效存储。完全二叉树，我的理解：任何节点的子节点只有以下三种情况：一，没有孩子。二，有两个孩子。三，只有左孩子。不会出现只有右孩子，没有左孩子的情况。根节点的编号1，根节点的左孩子编号2，根节点的右孩子编号3。2的孩子编号为：4,5。3的孩子编号：6,7。

离线算法( offline algorithms)，离线计算就是在计算开始前已知所有输入数据，输入数据不会产生变化，且在解决一个问题后就要立即得出结果的前提下进行的计算。通俗的说：离线查询：问完所有问题后，依次回答。可以按某个查询值排序，这样方便处理。**注意**：要记录排序前，排序后的对应关系。比如：对查询的下标排序，不对查询排序。在线查询：每问一个问题，就回答。

栈（Stack）是只允许在一端进行插入或者删除操作的线性表。它的操作特性可以概括为——后进先出（Last In First Out，LIFO）。栈顶（Top）——线性表允许进行插入删除的一端；栈底（Bottom）——线性表不允许进行插入删除的一端；

分治法的一种，将数组和字符串，拆分成前缀和后缀。字符串(数组）的前缀是字符串的前i个元素：s.substr(0,i-1)，即s[0] $\dots$ s[i-1]。同理后缀就是字符串s的后几个元素（字符）。不失一般型，我们以字符串s=“abcde"为例，s有5种拆分方法：

**性质一**： 搜索树上的两点连通，则对应的图一定连通。因为：搜索树有的边，对应的图都有。**性质二**：搜索树上，假定一个节点n1有m个子节点，则删除n1和相关边后，有1+m个连通区域。各子节点各一个连通区域，其它节点一个连通区域（简称根子树）。根据性质一，对应的图最多1+m个连通区域。**性质三**：dfs(c1)前，c1到c10的某条路径全部是未访问节点，则dfs(c1)时一定会访问c10。令在这条路径上：c1的后继点是c2,c2是c3,c3是c4 $\cdots$第一次处理c1时，c1处理

连通图（可能有环）的层次。选取任意节点root，各节点到root的最短距离就是各节点的层次。显然root的层次是0。

阶乘、排列、组合、帕斯卡法则、容斥原理

使用方法一：修改某个封装类，然后运行所有测试用例。看是否有测试用例，没通过。调试没有通过的测试用例。在改测试用例上，单击鼠标右键，在右键菜单中选择“调试”。使用方法二：修改某题的源码，然后运行此类的测试用例。使用方法三：输出日志。Microsoft::VisualStudio::CppUnitTestFramework::Logger::WriteMessage("d"); 选中此测试用例才会显示结果。

差分数组（Difference Array）是一种巧妙的数据结构，常用于处理序列的各种动态修改问题，尤其是具有前后元素关联的操作。令数据数组是data,diff[i]记录data[i]-data[i-1]，则data[i] = diff[0...i]之和。差分数组的优点：常数时间进行区间修改。

{“a”,“abc”,“bac”,“bbc”,“ca” }的字典树如下图：最主用的应用：一，字符串编码。二，位运算。

记忆化搜索（Memoization Search）：是一种通过存储已经遍历过的状态信息，从而避免对同一状态重复遍历的搜索算法。记忆化搜索是动态规划的一种实现方式。在记忆化搜索中，当算法需要计算某个子问题的结果时，它首先检查是否已经计算过该问题。如果已经计算过，则直接返回已经存储的结果；否则，计算该问题，并将结果存储下来以备将来使用。

放球问题是一类很有意思的排列组合问题。通俗来说，就是把n个小球放到m个盒子里，问有几种放法。具体可以从3个维度，每个维度2种情况，共8种情况：维度一：小球是否相同。维度二： 盒子是否相同。维度三： 是否容许盒子为空。

给你两个整数 n 和 maxValue ，用于描述一个 理想数组 。对于下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 arr ，如果满足以下条件，则认为该数组是一个 理想数组 ：每个 arr[i] 都是从 1 到 maxValue 范围内的一个值，其中 0

约定：字符串下标以 0 为起点。定义对于一个长度为 n 的字符串 s，定义函数 z[i] 表示 s 和 s[i,n-1]（即以 s[i] 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度，则 z 被称为 s 的 Z 函数。特别地，z[0] = 0。国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为 扩展 KMP。这篇文章介绍在 O(n) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。

本文的算法汇总，包括但不限于动态规划、回溯、贪心、分支、图论、组合数学、数量等。

有根树的深度：根到叶子节点的距离。有根数的搞定：叶子到根节点的距离。两者本质是一样，习惯不同而已。树的直径——就是树中距离最大的两点的距离。 以任意节点为根的最大深度。

我对回溯的定义是不定层循环，此定义并不规范，但容易理解。回溯基本上用深度优先搜索实现，暂未发现反例。而深度优先搜索绝大部分是用递归实现。

扩展新的节点，不断递归执行这个过程，直到某个节点不能再扩展下一个节点为止。此时，则返回上一个节点重新寻找一个新的扩展节点。如此搜索下去，直到找到目标节点，或者搜索完所有节点为止。

数论、质数、最大公约数、菲蜀定理

位运算的结合性都是从左到右。优先级低的先运算。|优先级|位运算符|说明||-|-|-|7 |> |位左移/位右移10|& |按位与11|^|按位异或12 | |按位或

有n件物品，体积分别是v[i]，价值分别是w[i]，有个包的容积是bv。如何选择物品使得，在总体积不超过vb的前提下，让总价值最大。

裴蜀定理（或贝祖定理，Bézout's identity）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约 数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且（a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

给你一个 非负 整数数组 nums 和一个整数 k 。如果一个数组中所有元素的按位或运算 OR 的值 至少 为 k ，那么我们称这个数组是 特别的 。请你返回 nums 中 最短特别非空 子数组的长度，如果特别子数组不存在，那么返回 -1 。

魔物了占领若干据点，这些据点被若干条道路相连接，roads[i] = [x, y] 表示编号 x、y 的两个据点通过一条道路连接。现在勇者要将按照以下原则将这些据点逐一夺回：在开始的时候，勇者可以花费资源先夺回一些据点，初始夺回第 j 个据点所需消耗的资源数量为 cost[j]接下来，勇者在不消耗资源情况下，每次可以夺回一个和「已夺回据点」相连接的魔物据点，并对其进行夺回注：为了防止魔物暴动，勇者在每一次夺回据点后（包括花费资源夺回据点后），需要保证剩余的所有魔物据点之间是相连通的（不经过「已夺回据

优化动态规划的时间复杂度，主要有如下几种：

在本问题中，有根树指满足以下条件的 有向 图。该树只有一个根节点，所有其他节点都是该根节点的后继。该树除了根节点之外的每一个节点都有且只有一个父节点，而根节点没有父节点。输入一个有向图，该图由一个有着 n 个节点（节点值不重复，从 1 到 n）的树及一条附加的有向边构成。附加的边包含在 1 到 n 中的两个不同顶点间，这条附加的边不属于树中已存在的边。结果图是一个以边组成的二维数组 edges 。 每个元素是一对 [ui, vi]，用以表示 有向 图中连接顶点 ui 和顶点 vi 的边，其中 ui 是

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

性质一：单位矩形I−nI-nI−n,n阶方阵，主对角线1，其它0。XI=X,IX=X。下面以AB=C为例。c[r][c] =∑j0n−1arj∗bjc∑j0n−1​arj∗bjc])B是单位矩阵时：b[j][c]，当j== c时为1，其它为0，故c[r][c]=a[r][c]。A是单位矩阵时：a[r][j]，当j==r时为1，其它为0，故c[r][c]=b[r][c]。性质二：AB等于(BA)的转置矩阵，单位矩阵的转置矩阵是本身。

给定一个整数 n，计算所有小于等于 n 的非负整数中数字 1 出现的个数。

滑动窗口与双指针：一，定长滑动窗口。二，不定长滑动窗口。二a，最长最数组。二b，最短子数组。二c，统计子数组数量（越长越合法）。二d，统计子数组数量（越短越合法）。二e，恰好子数组数量。

通过枚举最小（最大）值不重复、不遗漏枚举所有子数组二分查找的进一步优化最小（最大）字典序

我暂时只发现两种：一，在左闭右开的区间寻找最后一个符合条件的元素，我封装成FindEnd函数。二，在左开右闭的区间寻找第一个符合条件的元素，我封装成FindFirst函数。

包括：二分查找的原理，证明，及样例。分四类：自己写二分算法 有序映射 对有序向量二分查找 有序集合