闻缺陷则喜何志丹

本文摘要：文章总结了C++中关于字典序、贪心算法、回文串、括号匹配等知识点，通过多个实际题目（如3170、2434、2663等题）讲解相关算法实现。内容涵盖字符串处理、动态规划、贪心策略等技术要点，并附有视频课程链接和测试环境说明，适合希望系统学习C++算法的读者参考。

本文介绍了C++动态规划的几种解法，重点讨论了基于上下界处理的动态规划状态表示和转移方法。主要内容包括：1) 通过位数拆分处理不同范围的动态规划；2) 定义了4种边界状态（非界、下界、上界、上下界）及其转移规则；3) 提供了三种优化方法：公共前缀处理、范围方案数简化、前导零处理；4) 给出了两个通用模板类（CLowUperr和CUpperDP）的实现框架，支持自定义状态和边界条件处理。这些方法适用于处理数字范围相关的动态规划问题，能够有效降低时间复杂度至O(4N∑)。

本文总结了C++中区间贪心算法的常见类型及解法：1)不相交区间选择（单组/多组），按右端点排序后贪心；2)区间选点问题，包括最少覆盖点和区间分配点；3)区间合并，按左端点排序后处理；4)区间覆盖，优先选择覆盖当前点且右端点最大的区间；5)区间分组，所有区间必须分组求最小组数。每种类型都给出了核心性质、算法思路及时间复杂度分析，并附相关例题。这些方法在解决如座位安排、毯子覆盖等问题中具有广泛应用。

本文介绍了倍增算法的核心概念与应用场景，主要包括区间信息处理、树上倍增和快速幂三类。在区间信息处理中，通过预处理构建二维数组vMax来高效查询区间最大值，时间复杂度为O(NlogN)。树上倍增部分详细讲解了如何利用vGrand数组记录节点的多级祖先，并重点阐述了最近公共祖先(LCA)的高效求解方法，时间复杂度优化至O(logn)。文章还提供了完整的C++实现代码，包括CParents和C2Parents两个类，封装了倍增查询、层级计算、祖先查找等核心功能，支持在树结构中进行快速公共祖先查询。该算法适用于需要

本文介绍了C++线段树的实现方法，包括静态开点和区间修改（懒修改）技术。静态开点通过向量存储二叉树节点，节省空间。区间修改采用懒标记技术，最多遍历4logN个节点，通过回调接口OnUpdateBranch和OnUnionSet处理缓存更新。文章提供了线段树的封装类设计，包括基类CSegmentTree、单点更新类CSingeSegmentTree及其动态开点实现CSingeTreeSegmentTree，支持查询、更新等操作。回调接口定义了节点合并、叶子更新和缓存合并等功能，为线段树的灵活应用提供基础框架。

本文介绍了C++线段树(Segment Tree)的实现方法，重点展示了多种回调类的设计。文章首先定义了ISegmentTreeCall基类及其派生类ISingleSegmentTreeCall和IRangleSegmentTreeCall，用于处理不同类型的线段树操作。随后详细介绍了针对不同需求的回调类实现，包括：最大值处理类(CMaxMax、CSetMax、CAddMax)、异或求和类(CXorCnt)、求和类(CAddSum、CSetSum)以及相乘求余类(CMulMod)。这些回调类实现了线段树的核

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。使用线段树可以快速的查找某一个节点在若干条线段中出现的次数，时间复杂度为O(logN)。而未优化的空间复杂度为2N，实际应用时一般还要开4N的数组以免越界，因此有时需要离散化让空间压缩。区间更新（查询）的时间复杂度是O(logn)，使用懒惰法只会影响以下四类节点，每类节点数量都不超过logn。一，左边界及其祖先。二，右边界及其祖先。三，第一类的兄弟节点。四，第二类的兄弟节点。

桶排序优化按v升序将sa[inx+len]放到sa[inx]中。 v由于已经是升序，故各桶内部无需排序。每轮时间复杂度：O(N)，总时间复杂度：O(NlogN)。# DC

本文介绍了并查集(Union-Find)数据结构的基本概念和实现方法。主要内容包括：1) 并查集的基本操作find和union，用于处理动态连通性；2) 暴力实现方法及其时间复杂度分析；3) 两种优化策略：启发式合并(UNION BY RANK)和路径压缩(PATH COMPRESSION)；4) 可撤销并查集的实现思路；5) 提供了三种封装类代码实现：普通并查集、实时更新节点的并查集、无向图并查集。文章通过数学归纳法证明了合并操作的正确性，分析了不同实现的时间复杂度，并给出了详细的C++代码实现，适合算法

x系列是变量，y系列是常量，差分系统由若干如下不等式组成。x1-x2 <= y1 x2-x3 <= y2 $\cdots$

性质五：f(j) < i <= j， f(j)中1的个数不会多于f(i)。性质二，f(x)= x&(x-1) ，即将最低位的1变成0，f(6)=4。令i的最后一个1是第k4位，只讨论比k4高的位，f(j)<=i，否则整个f(j)>i。比k4高的位f(i)等于i，故f(j)和f(i)k4为之前部分相等。a[i]+= x，等于data[i]+=x，按如下方式迭代i: i +g(x)。如果f(j)>f(i),说明i的最低位1后面有1，根据性质四，无法如何j都不会大于i。求a[i]的值：即区间a[i…

解ax+by=gcd(a,b) a,b无需互质，可以全部或部分为负数。

要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

哈曼顿距离：max(x1-x2,x2-x1)+max(y1-y2,y2-y1) = max(x1-x2+y1-y2,x1-x2+y2-y1,x2-x1+y1-y2,x2-x1+y2-y1)利用f(x,y)=(x+y,x-y)将点1(x1,y1)点2（x2,y2）转成点3(x3,y3)和点4(x4,y4)后，点1到点2的哈曼顿距离等于点3到点4的切比雪夫距离。切比雪夫距离：max(|x1-x2|,|y1-y2|)。= max(|x3-x4|,|y3-y4|)即点3到点4的切比雪夫距离。三维：(x,y,z)

贪心算法（Greedy Algorithm）是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法策略。贪心算法的正确性必须证明。常见的证明方法有五种：一，反证法。二，数学归纳法。三，决策包容性。 四，扩展决策范围。五，临项交换。

队列（Queue）是一种基本的线性数据结构，它遵循先进先出（First In First Out, FIFO）的原则。这意味着最先被添加到队列中的元素将会是最先被移除的。和生活中，无人插队的队列一样。队列内部实现可能是连续空间，也可能是多段空间。

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆（大根堆）；每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆（小根堆）。从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可以使用层序的规则采用顺序的方式来高效存储。完全二叉树，我的理解：任何节点的子节点只有以下三种情况：一，没有孩子。二，有两个孩子。三，只有左孩子。不会出现只有右孩子，没有左孩子的情况。根节点的编号1，根节点的左孩子编号2，根节点的右孩子编号3。2的孩子编号为：4,5。3的孩子编号：6,7。

离线算法( offline algorithms)，离线计算就是在计算开始前已知所有输入数据，输入数据不会产生变化，且在解决一个问题后就要立即得出结果的前提下进行的计算。通俗的说：离线查询：问完所有问题后，依次回答。可以按某个查询值排序，这样方便处理。**注意**：要记录排序前，排序后的对应关系。比如：对查询的下标排序，不对查询排序。在线查询：每问一个问题，就回答。

栈（Stack）是只允许在一端进行插入或者删除操作的线性表。它的操作特性可以概括为——后进先出（Last In First Out，LIFO）。栈顶（Top）——线性表允许进行插入删除的一端；栈底（Bottom）——线性表不允许进行插入删除的一端；

分治法的一种，将数组和字符串，拆分成前缀和后缀。字符串(数组）的前缀是字符串的前i个元素：s.substr(0,i-1)，即s[0] $\dots$ s[i-1]。同理后缀就是字符串s的后几个元素（字符）。不失一般型，我们以字符串s=“abcde"为例，s有5种拆分方法：

**性质一**： 搜索树上的两点连通，则对应的图一定连通。因为：搜索树有的边，对应的图都有。**性质二**：搜索树上，假定一个节点n1有m个子节点，则删除n1和相关边后，有1+m个连通区域。各子节点各一个连通区域，其它节点一个连通区域（简称根子树）。根据性质一，对应的图最多1+m个连通区域。**性质三**：dfs(c1)前，c1到c10的某条路径全部是未访问节点，则dfs(c1)时一定会访问c10。令在这条路径上：c1的后继点是c2,c2是c3,c3是c4 $\cdots$第一次处理c1时，c1处理

连通图（可能有环）的层次。选取任意节点root，各节点到root的最短距离就是各节点的层次。显然root的层次是0。

阶乘、排列、组合、帕斯卡法则、容斥原理

使用方法一：修改某个封装类，然后运行所有测试用例。看是否有测试用例，没通过。调试没有通过的测试用例。在改测试用例上，单击鼠标右键，在右键菜单中选择“调试”。使用方法二：修改某题的源码，然后运行此类的测试用例。使用方法三：输出日志。Microsoft::VisualStudio::CppUnitTestFramework::Logger::WriteMessage("d"); 选中此测试用例才会显示结果。

差分数组（Difference Array）是一种巧妙的数据结构，常用于处理序列的各种动态修改问题，尤其是具有前后元素关联的操作。令数据数组是data,diff[i]记录data[i]-data[i-1]，则data[i] = diff[0...i]之和。差分数组的优点：常数时间进行区间修改。

{“a”,“abc”,“bac”,“bbc”,“ca” }的字典树如下图：最主用的应用：一，字符串编码。二，位运算。

记忆化搜索（Memoization Search）：是一种通过存储已经遍历过的状态信息，从而避免对同一状态重复遍历的搜索算法。记忆化搜索是动态规划的一种实现方式。在记忆化搜索中，当算法需要计算某个子问题的结果时，它首先检查是否已经计算过该问题。如果已经计算过，则直接返回已经存储的结果；否则，计算该问题，并将结果存储下来以备将来使用。

放球问题是一类很有意思的排列组合问题。通俗来说，就是把n个小球放到m个盒子里，问有几种放法。具体可以从3个维度，每个维度2种情况，共8种情况：维度一：小球是否相同。维度二： 盒子是否相同。维度三： 是否容许盒子为空。

给你两个整数 n 和 maxValue ，用于描述一个 理想数组 。对于下标从 0 开始、长度为 n 的整数数组 arr ，如果满足以下条件，则认为该数组是一个 理想数组 ：每个 arr[i] 都是从 1 到 maxValue 范围内的一个值，其中 0

约定：字符串下标以 0 为起点。定义对于一个长度为 n 的字符串 s，定义函数 z[i] 表示 s 和 s[i,n-1]（即以 s[i] 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度，则 z 被称为 s 的 Z 函数。特别地，z[0] = 0。国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为 扩展 KMP。这篇文章介绍在 O(n) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。

本文的算法汇总，包括但不限于动态规划、回溯、贪心、分支、图论、组合数学、数量等。

有根树的深度：根到叶子节点的距离。有根数的搞定：叶子到根节点的距离。两者本质是一样，习惯不同而已。树的直径——就是树中距离最大的两点的距离。 以任意节点为根的最大深度。

我对回溯的定义是不定层循环，此定义并不规范，但容易理解。回溯基本上用深度优先搜索实现，暂未发现反例。而深度优先搜索绝大部分是用递归实现。

扩展新的节点，不断递归执行这个过程，直到某个节点不能再扩展下一个节点为止。此时，则返回上一个节点重新寻找一个新的扩展节点。如此搜索下去，直到找到目标节点，或者搜索完所有节点为止。

数论、质数、最大公约数、菲蜀定理

位运算的结合性都是从左到右。优先级低的先运算。|优先级|位运算符|说明||-|-|-|7 |> |位左移/位右移10|& |按位与11|^|按位异或12 | |按位或

有n件物品，体积分别是v[i]，价值分别是w[i]，有个包的容积是bv。如何选择物品使得，在总体积不超过vb的前提下，让总价值最大。

裴蜀定理（或贝祖定理，Bézout's identity）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约 数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且（a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.

给你一个 非负 整数数组 nums 和一个整数 k 。如果一个数组中所有元素的按位或运算 OR 的值 至少 为 k ，那么我们称这个数组是 特别的 。请你返回 nums 中 最短特别非空 子数组的长度，如果特别子数组不存在，那么返回 -1 。

魔物了占领若干据点，这些据点被若干条道路相连接，roads[i] = [x, y] 表示编号 x、y 的两个据点通过一条道路连接。现在勇者要将按照以下原则将这些据点逐一夺回：在开始的时候，勇者可以花费资源先夺回一些据点，初始夺回第 j 个据点所需消耗的资源数量为 cost[j]接下来，勇者在不消耗资源情况下，每次可以夺回一个和「已夺回据点」相连接的魔物据点，并对其进行夺回注：为了防止魔物暴动，勇者在每一次夺回据点后（包括花费资源夺回据点后），需要保证剩余的所有魔物据点之间是相连通的（不经过「已夺回据