【C++】树状数组的使用、原理、封装类、样例

已于 2025-04-19 12:09:53 修改
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分类专栏： # 算法基础 文章标签： c++ 数据结构 树状数组 求和 异或和 最值 动态开点
于 2025-03-10 07:00:00 首次发布
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前言

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C++算法与数据结构分类汇总

树状数组的英文名称是 ‌Binary Indexed Tree‌，缩写为 ‌BIT‌。我习惯翻译成TreeArr。

最常见的应用

有序集合包括若干整数,求小于x的数量。auto it = s.lower(x) , it - s.begin()，这个时间复杂度是O(n)。
由于查询和插入交替进行，故不能用向量。

树状数组的用途

令原始数组是a，长度为n。

基础操作

一，求前缀和。即 ∑ j : 0 i a [ j ] \sum_{j:0}^ia[j] ∑j:0i​a[j]。时间复杂度：O(logn)。
二，a[i] +=x。时间复杂度：O(logn)

组合操作

区间和：两个前缀和相减便是区间和，a[i…j]之和=a[0…j]之和-a[0…i-1]之和。
求a[i]的值：即区间a[i…i]之和。
a[i]=x： y=a[i]的值，a[i] += (x-y)

树状数组的原理

性质一，下标从1开始。
性质二，f(x)= x&(x-1) ，即将最低位的1变成0，f(6)=4。data[i]=a[f(i) + 1] 到a[i]之和。故a[1…i] 之和等于按以下方式迭代的a[i]之和:i = f(i)。
性质三,g(i)=x&(-x)即最低位1的值，f(6)=2。a[i]+= x，等于data[i]+=x，按如下方式迭代i: i +g(x)。
性质四：f(i)最低位1后面的任意一个0变成1，一定是对应i。且不存在其它方式产生对应的i。
性质五：f(j) < i <= j， f(j)中1的个数不会多于f(i)。如果f(j)小于f(i)，根据性质四无法让j >=i。令f(j)的第k3位小于f(i)，如果有多个k3，取最高位。不修改k3或更高位，无法大于等于i。
如果f(j)>f(i),说明i的最低位1后面有1，根据性质四，无法如何j都不会大于i。
令i的最后一个1是第k4位，只讨论比k4高的位，f(j)<=i，否则整个f(j)>i。比k4高的位f(i)等于i，故f(j)和f(i)k4为之前部分相等。f(j)>f(i)，故必须比k4低的位有1。
性质六：如果f(j)有k个1，这k个1一定是f(i)的前k个1。证明同性质五。
如果f(j)有k个1，i从高位到低位第k个1是k1位，第k+1个1是k2位。 如果i有k+1个1.则j最后一个1为[k2，k1 - 1];否则j最后一个1为[k2 + 1, k1 - 1]。证明结束。

树状数组的封装类

静态开点求和和求异或和的树状数组。

template<class ELE = int >
class CTreeArrAddOpe:public ITreeArrSumOpe<ELE>
{
public:
	virtual void Assign(ELE& dest, const ELE& src) {
		dest += src;
	}
	virtual ELE Back(const ELE& n1, const ELE& n2) {
		return n1 - n2;
	}
};

template<class ELE = int,class ELEOpe = CTreeArrAddOpe<ELE> >
class CTreeArr
{
public:
	CTreeArr(int iSize) :m_vData(iSize + 1)
	{

	}
	void Add(int index, ELE value)
	{
		if ((index < 0) || (index >= m_vData.size() - 1)) { return; }
		index++;
		while (index < m_vData.size())
		{
			m_ope.Assign(m_vData[index], value);
			index += index & (-index);
		}
	}
	ELE Sum(int index)//[0...index]之和
	{
		index++;
		ELE ret = 0;
		while (index)
		{
			m_ope.Assign(ret, m_vData[index]);
			index -= index & (-index);
		}
		return ret;
	}
	ELE Sum() { return Sum(m_vData.size() - 2); }
	ELE Get(int index)
	{
		return m_ope.Back(Sum(index), Sum(index - 1));
	}	
private:
	ELEOpe m_ope;
	vector<ELE> m_vData;
};

template<class ELE = int >
class CTreeArrXorOpe : public ITreeArrSumOpe <ELE> {
public:
	virtual void Assign(ELE& dest, const ELE& src) {
		dest ^= src;
	}
	virtual ELE Back(const ELE& n1, const ELE& n2) {
		return n1 ^ n2;
	}
};

template<class ELE = int >
class CTreeArrXor : public CTreeArr<ELE, CTreeArrXorOpe<ELE>> {
public:
	using CTreeArr<ELE, CTreeArrXorOpe<ELE>>::CTreeArr;
};

动态开点树状数组

template<class ELE = int, class ELEOpe = CTreeArrAddOpe<ELE> >
class CTreeArrMap
{
public:
	CTreeArrMap(long long llMin, long long llMax) :m_llMin(llMin), m_llMax(llMax) {}
	void Add(long long index, ELE value)
	{
		if ((index < m_llMin) || (index > m_llMax)) { return; }
		index = index - m_llMin + 1;
		auto maxIndex = m_llMax - m_llMin + 1;
		while (index <= maxIndex)
		{
			m_ope.Assign(m_vData[index], value);
			index += index & (-index);
		}
	}
	ELE Sum(long long index)//[0...index]之和
	{
		if ((index < m_llMin) || (index > m_llMax)) { return 0; }
		index = index - m_llMin + 1;
		ELE ret = 0;
		while (index)
		{
			m_ope.Assign(ret, m_vData[index]);
			index -= index & (-index);
		}
		return ret;
	}
	ELE Sum() { return Sum(m_llMax - m_llMin + 1); }
	ELE Get(long long index)
	{
		return m_ope.Back(Sum(index), Sum(index - 1));
	}
private:
	ELEOpe m_ope;
	unordered_map <long long, ELE> m_vData;
	const long long m_llMin, m_llMax;
};

最值树状数组

template<class T = int,T def = INT_MIN>
class CTreeArrMax
{
public:
	CTreeArrMax(int iEleSize) :m_iMax(iEleSize) {
		m_aMax.assign(iEleSize + 1, def);
		m_aRangMax.assign(iEleSize + 1, def);
	}
	void Modify(int indexBase0, T value)
	{
		indexBase0++;
		if (value <= m_aMax[indexBase0])
		{
			return;
		}
		m_aMax[indexBase0] = value;
		while (indexBase0 <= m_iMax)
		{
			m_aRangMax[indexBase0] = max(m_aRangMax[indexBase0], value);
			indexBase0 += BitLower(indexBase0);
		}
	}
	T Query(int leftBas0, int rBase0)
	{
		leftBas0++;
		rBase0++;
		leftBas0 = max(1, leftBas0);
		rBase0 = min(m_iMax, rBase0);
		T iMax = def;
		while (rBase0 >= leftBas0)
		{
			const int pre = rBase0 - BitLower(rBase0);
			if (pre + 1 >= leftBas0)
			{
				iMax = max(iMax, m_aRangMax[rBase0]);
				rBase0 = pre;
			}
			else
			{
				iMax = max(iMax, m_aMax[rBase0]);
				rBase0--;
			}
		}
		return iMax;
	}
protected:
	int BitLower(int x)
	{
		return x & (-x);
	}
	const int m_iMax;
	vector<T> m_aMax, m_aRangMax;
};

template<class T = int, T def = INT_MAX>
class CTreeArrMin
{
public:
	CTreeArrMin(int iEleSize):m_max(iEleSize){}
	void Modify(int indexBase0, T value)
	{
		m_max.Modify(indexBase0, -value);
	}
	T Query(int leftBas0, int rBase0)
	{
		return -m_max.Query(leftBas0, rBase0);
	}
	CTreeArrMax<T, -def> m_max;
};

typedef CTreeArrMin<long long, LLONG_MAX> CTreeArrLLMin;

和差分数组结合

可以在O(logn)的时间内进行区间修改，在O(logn)的时间内进行单点查询。

树状数组使用样例

力扣

难度分
【C++二分查找 树状数组】2424. 最长上传前缀1604
【C++ 树状数组】2426. 满足不等式的数对数目2030
【C++ 树状数组 】1850. 邻位交换的最小次数2073
【字符串】【贪心】【 树状数组】2193. 得到回文串的最少操作次数2090
【C++树状数组】3187. 数组中的峰值2154
【树状数组】1649. 通过指令创建有序数组2207
【树状数组 一一映射】2179. 统计数组中好三元组数目2272
【状态机dp 线段树 树状数组】2407. 最长递增子序列 II2280
【树状数组】2659. 将数组清空2281
【树状数组 队列】1505. 最多 K 次交换相邻数位后得到的最小整数2336

洛谷

难度等级
【树状数组 C++二分查找】P7333 [JRKSJ R1] JFCA普及+
【前缀和 前后缀分解 树状数组】P9744 「KDOI-06-S」消除序列普及+
【C++贪心 树状数组】P8818 [CSP-S 2022] 策略游戏普及+
【树状数组 二分】P10235 [yLCPC2024] C. 舞萌基本练习普及+
【树状数组】P5367康托展开普及+
【树状数组 贪心】P11453 [USACO24DEC] Deforestation S普及+
【树状数组】P10673 【MX-S1-T2】催化剂普及+
【树状数组 排序 双指针】P11048 [蓝桥杯 2024 省 Java B] 拼十字普及+
【树状数组】P6278 [USACO20OPEN] Haircut G普及+
【树状数组】P3608 [USACO17JAN] Balanced Photo G普及+
【树状数组】P5200 [USACO19JAN] Sleepy Cow Sorting G普及+
【树状数组 位运算】P6225 [eJOI 2019] 异或橙子普及+
【树状数组】P5459 [BJOI2016] 回转寿司普及+
【树状数组】P5094 [USACO04OPEN] MooFest G 加强版普及+
【差分数组 树状数组】P5057 [CQOI2006] 简单题普及+
【树状数组 】P7629 [COCI 2011/2012 #1] SORT普及+

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。

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蓝桥杯棋盘树状数组
03-31
<think>好的，我现在需要帮助用户查找蓝桥杯比赛中关于棋盘问题的树状数组解法或实现代码。首先，我要确定用户的需求是什么。用户提到了“棋盘问题”和“树状数组”，可能需要解决的是二维区间操作问题，比如格子修改或查询，这在蓝桥杯的题目中比较常见，比如《棋盘上的问题》或《格子刷油漆》等题目。 首先，我需要回忆树状数组（Fenwick Tree）的基本知识。树状数组通常用于高效处理前缀和查询和单点更新，时间复杂度为O(log n)。但在棋盘问题中，可能涉及到二维的情况，这时候需要使用二维树状数组，可以处理二维区域的操作，比如子矩阵的更新和求和。 接下来，我需要考虑蓝桥杯历届真题中是否有类似的题目。根据引用[1]和[2]，用户提供的参考资料可能涉及C++和Python的代码，但具体到棋盘和树状数组的结合，可能需要进一步查找相关题解。例如，有些题目可能要求动态维护棋盘的状态，进行多次区间增减操作，并查询某个区域的和或极值。这时候树状数组的优势就体现出来了。 然后，用户需要解题思路和实现代码。针对二维棋盘问题，树状数组的二维实现是关键。每个节点(i,j)维护的是一个二维的前缀和信息。当进行区间更新时，可能需要使用差分的方法，将区间操作转化为四个单点操作，再利用树状数组的高效更新和查询。 例如，假设题目要求对棋盘的一个子矩阵进行增加某个值，然后查询某个点的值。这时候可以用二维树状数组结合差分的方法。具体来说，对于每个更新操作(x1,y1,x2,y2)加上v，可以通过四次更新操作实现：在(x1,y1)加v，(x1,y2+1)减v，(x2+1,y1)减v，(x2+1,y2+1)加v。这样，查询某个点(x,y)的值时，只需计算前缀和即可得到当前值。 接着，代码实现部分需要构建二维树状数组的结构。在Python中，可以初始化一个二维数组，并实现update和query方法。需要注意的是，树状数组的下标通常从1开始，因此在处理输入数据时可能需要调整坐标。 验证思路的正确性也很重要。例如，考虑一个小棋盘，手动模拟几次更新和查询操作，确保结果符合预期。同时，需要注意边界条件，比如当更新区域超出棋盘范围时的处理。 最后，根据用户的引用资料，引用[1]提到了C++中的unordered_map用于节点答案的存储，可能与本题无关，但引用[2]中的Python处理大数的方法可能在输入时有用，但树状数组的实现本身不需要处理大数，所以主要关注树状数组的结构和操作。 总结步骤： 1. 确定问题类型：二维区间更新和单点查询。 2. 使用二维树状数组结合差分方法处理区间更新。 3. 实现二维树状数组的update和query函数。 4. 编写代码框架，处理输入输出，并测试样例。 可能的挑战包括正确实现二维树状数组的更新和查询逻辑，以及差分方法的正确应用。需要仔细检查每个步骤，避免逻辑错误。</think>关于蓝桥杯比赛中棋盘问题与树状数组的结合应用，以下为典型解题思路及实现代码： --- ### 问题特征 棋盘问题通常涉及**二维区间操作**，例如： - 多次对子矩阵执行增减操作 - 查询单点或子矩阵的值 - 统计符合特定条件的区域 树状数组（Fenwick Tree）通过$O(\log n)$时间复杂度实现高效的前缀和计算与单点更新，适合处理这类高频操作的问题[^1]。 --- ### 解题思路（以子矩阵增减+单点查询为例） 1. **差分思想** 将二维区间增减转化为四个单点操作： $$ \text{update}(x1,y1,+v),\ \text{update}(x1,y2+1,-v) $$ $$ \text{update}(x2+1,y1,-v),\ \text{update}(x2+1,y2+1,+v) $$ 2. **二维树状数组实现** 维护差分数组的前缀和，实现单点修改与区域查询： ```python class Fenwick2D: def __init__(self, n, m): self.n = n self.m = m self.tree = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)] def update(self, x, y, delta): while x <= self.n: y1 = y while y1 <= self.m: self.tree[x][y1] += delta y1 += y1 & -y1 x += x & -x def query(self, x, y): res = 0 while x > 0: y1 = y while y1 > 0: res += self.tree[x][y1] y1 -= y1 & -y1 x -= x & -x return res ``` 3. **操作映射** - **子矩阵更新**：调用四次`update()`实现差分 - **单点查询**：直接计算`query(x,y)` --- ### 完整代码实现（Python） ```python class Fenwick2D: def __init__(self, n, m): self.n = n self.m = m self.tree = [[0]*(m+2) for _ in range(n+2)] # 下标从1开始 def update(self, x, y, delta): while x <= self.n: y1 = y while y1 <= self.m: self.tree[x][y1] += delta y1 += y1 & -y1 x += x & -x def query(self, x, y): res = 0 while x > 0: y1 = y while y1 > 0: res += self.tree[x][y1] y1 -= y1 & -y1 x -= x & -x return res # 输入棋盘大小n x m，操作次数q n, m = map(int, input().split()) q = int(input()) fw = Fenwick2D(n, m) for _ in range(q): op = list(map(int, input().split())) if op[0] == 1: # 子矩阵更新: op1 x1 y1 x2 y2 v x1, y1, x2, y2, v = op[1], op[2], op[3], op[4], op[5] fw.update(x1, y1, v) fw.update(x1, y2+1, -v) fw.update(x2+1, y1, -v) fw.update(x2+1, y2+1, v) else: # 单点查询: op2 x y x, y = op[1], op[2] print(fw.query(x, y)) ``` --- ### 应用场景 1. 蓝桥杯《格子刷油漆》题型中动态维护棋盘状态 2. 统计符合条件（如异或特征）的区域数量 3. 解决多次操作后的棋盘极值问题 ---
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