Z 函数（扩展 KMP）_z函数-优快云博客

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Z 函数（扩展 KMP）简介

约定：字符串下标以 0 为起点。
定义对于一个长度为 n 的字符串 s，定义函数 z[i] 表示 s 和 s[i,n-1]（即以 s[i] 开头的后缀）的最长公共前缀（LCP）的长度，则 z 被称为 s 的 Z 函数。特别地，z[0] = 0。
国外一般将计算该数组的算法称为 Z Algorithm，而国内则称其为扩展 KMP。
这篇文章介绍在 O(n) 时间复杂度内计算 Z 函数的算法以及其各种应用。

$\forall$ (left,r), r = left+z[left]-1。如果 i $\in$ [left,r]，则可以通过z[0…i-1]加速。
显然s[0…r-left] 等于 z[left,r]。
令i2 = i - left
$\forall$ i1$in[0,right-i] s[i2+i1] = s[i+i1];
$\forall$ i1$in[0,z[i2]-1] s[i1] = s[i2+i1];
两者联合：
iMin = min(z[i2]-1,right-i)
$\forall$ i1$in[0,iMin ] s[i1] = s[i+i1]; 即：最长公共前缀至少是：s[0…iMin]余下部分，暴力统计。
我们不需要记录所有的(l,r)，只需要记录r最大的(l,r)。

封装代码

class KMPEx
{
public:
	template<class T>
	static vector<int> ZFunction(const T* p, int n) {
		vector<int> z(n);
		z[0] = n;
		for (int i = 1, left = 0, r = 0; i < n; ++i) {
			if (i <= r) {//如果此if,r-i+1可能为负数
				z[i] = min(z[i - left], r - i + 1);
			}
			while ((i + z[i] < n) && (p[z[i]] == p[i + z[i]])) {
				z[i]++;
			}
			if (i + z[i] - 1 > r) left = i, r = i + z[i] - 1;
		}
		return z;//z[i] 表示S与其后缀S[i,n]的最长公共前缀(LCP)的长度
	}
	static vector<int> ZFunction(string s) {
		return ZFunction(s.c_str(), s.length());
	}
	static int MinCyc(const string& str, int unit = 1) {
		const int N = str.length();
		auto z = ZFunction(str);
		for (int k = unit; k < N; k += unit) {
			if (z[k] >= N - k) { return k; }
		}
		return N;
	}

};

单元测试

namespace UnitTestKMPEx
{
	string s;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod0)
		{
			s = "babab";
			auto v2 = KMPEx::ZFunction(s);
			AssertEx(vector<int>{(int)s.length(), 0, 3, 0, 1}, v2);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			s = "azbazbzaz";
			auto v2 = KMPEx::ZFunction(s);
			AssertEx(vector<int>{(int)s.length(), 0, 0, 3, 0, 0, 0, 2, 0}, v2);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod3)
		{
			s = "azbxddafgxxsdddffsssssgggbzaz";
			auto v2 = KMPEx::ZFunction(s);
			AssertEx(vector<int>{(int)s.length(), 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0}, v2);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod4)
		{
			s = "azb1xdda3ddsfgazbxxsdddddddfazb1xfsaasssabsgggbzaz";
			auto v2 = KMPEx::ZFunction(s);
			AssertEx(vector<int>{(int)s.length(), 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0}, v2);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod5)
		{
			s = "aaaaa";
			auto v2 = KMPEx::ZFunction(s);
			AssertEx(vector<int>{(int)s.length(), 4, 3, 2, 1}, v2);
		}

	};
}

时间复杂度

if (i <= r)	{//如果此if,r-i+1可能为负数
				z[i] = min(z[i - left], r - i + 1);
			}

$\forall$ i 时间复杂度是O(1)，故总时间复杂度是O(n)

while ((i + z[i] < n) && (s[z[i]] == s[i + z[i]])) {
				z[i]++;
			}

		如果相等，则一定是大于r,且r会相应增加，故相等的总时间复杂度是O(n)。
		$\forall$i ，如果不等，只会执行一次，故不等的总时间复杂度也是O(n)

if (i + z[i] - 1 > r) left = i, r = i + z[i] - 1;

没有循环，显然时间复杂度是O(1),总时间复杂度是O(n)。
故总时间复杂度是O(n)。

寻找循环节

字符串s长度为n，求最大x ，s[0…m*x-1]由x个s[0…m-1]组成。如：s = ABABA,则x是2。
显然 $(x-1)\times m$ 。显然 s[m…]以x-1个s[0…m-1]开始,s[0…]以x个s[0…m-1]开始。
$y = z [m]$ 则除x个完整循环节外，还有y个字符也是循环的。

题解

力扣：2223

故其和为： $\sum(z)$

class Solution {
public:
	long long sumScores(string s) {
		vector<int> z = KMPEx::ZFunction(s);
		long long llRet = 0;
		for (const auto& n : z) {
			llRet += n;
		}
		return llRet ;
	}
};

扩展阅读

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