【分治法 前缀和】3748. 统计稳定子数组的数目|2209

本文涉及知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例 包括课程视频
分治

LeetCode3748. 统计稳定子数组的数目

如果 nums 的一个 子数组 中 没有逆序对 ，即不存在满足 i < j 且 nums[i] > nums[j] 的下标对，则该子数组被称为 稳定 子数组。

同时给你一个长度为 q 的 二维整数数组 queries，其中每个 queries[i] = [li, ri] 表示一个查询。对于每个查询 [li, ri]，请你计算完全包含在 nums[li…ri] 内的 稳定子数组 的数量。

返回一个长度为 q 的整数数组 ans，其中 ans[i] 是第 i 个查询的答案。

注意：

子数组 是数组中一个连续且 非空 的元素序列。
单个元素的子数组被认为是稳定的。

示例 1：

输入：nums = [3,1,2], queries = [[0,1],[1,2],[0,2]]

输出：[2,3,4]

解释：

对于 queries[0] = [0, 1]，子数组为 [nums[0], nums[1]] = [3, 1]。
稳定子数组包括 [3] 和 [1]。稳定子数组的总数为 2。
对于 queries[1] = [1, 2]，子数组为 [nums[1], nums[2]] = [1, 2]。
稳定子数组包括 [1]、[2] 和 [1, 2]。稳定子数组的总数为 3。
对于 queries[2] = [0, 2]，子数组为 [nums[0], nums[1], nums[2]] = [3, 1, 2]。
稳定子数组包括 [3]、[1]、[2] 和 [1, 2]。稳定子数组的总数为 4。
因此，ans = [2, 3, 4]。

示例 2：

输入：nums = [2,2], queries = [[0,1],[0,0]]

输出：[3,1]

解释：

对于 queries[0] = [0, 1]，子数组为 [nums[0], nums[1]] = [2, 2]。
稳定子数组包括 [2]、[2] 和 [2, 2]。稳定子数组的总数为 3。
对于 queries[1] = [0, 0]，子数组为 [nums[0]] = [2]。
稳定子数组包括 [2]。稳定子数组的总数为 1。
因此，ans = [3, 1]。

提示：

$1<=nums.length<=10^5$
$1<=nums[i]<=10^5$
$1<=queries.length<=10^5$
queries[i] = [li, ri]
0 <= li <= ri <= nums.length - 1

分段 前缀和

性质一：如果(i,j)是逆序对，则一定存在逆序对(k-1,k),$i<k\le j$。即只需要判断相邻逆序对。
性质二：如果(k-1，k)是逆序对。则$i<k\le j$,(i,j)一定不是稳定数组。
inxs包括所有k，为了避免处理边界。inxs增加0,N。inxs升序。
整个数组被分inxs.size()-1段，第i段是$inxs[i]\sim inxs[i+1]-1$
性质三：长度为len的数组的子数组数量为：$(1+len)\times len÷2$。
preSum是这些段的前缀和。

实现

令v[0]在i1段，v[1]在i2段。如果i1==i2，只有一段，长度：v[1]-v[0]+1。
否则：
第0段长：inxs[i1+1]-v[0]
最多一段：v[1]-inxs[i2]+1
中间的是：[i1+1 ,i2)段。

代码

核心代码

class Solution {
		public:
			vector<long long> countStableSubarrays(vector<int>& nums, vector<vector<int>>& queries) {
				const int N = nums.size();
				vector<int> inxs = { 0 };
				for (int i = 1; i < N; i++) {
					if (nums[i - 1] > nums[i]) {
						inxs.emplace_back(i);
					}
				}
				inxs.emplace_back(N);
				auto Cnt = [&](long long len) {
					return (1 + len) * len / 2;
				};
				vector<long long> cnts ;
				for (int i = 1; i < inxs.size(); i++) {
					cnts.emplace_back(Cnt(inxs[i] - inxs[i - 1]));
				}
				vector<long long> preSum = { 0 };
				for (const auto& n : cnts) {
					preSum.emplace_back(preSum.back() + n);
				}
				vector<long long> ans;
				for (const auto& v : queries) {
					const auto inx1 = upper_bound(inxs.begin(), inxs.end(), v[0]) - inxs.begin() - 1;
					const auto inx2 = upper_bound(inxs.begin(), inxs.end(), v[1]) - inxs.begin() - 1;
					if (inx1 == inx2) {
						ans.emplace_back(Cnt(v[1] - v[0]+1)); continue;
					}
					const auto l1 = Cnt(inxs[inx1 + 1] - v[0]);
					const auto l2 = preSum[inx2] - preSum[inx1+1];
					const auto l3 = Cnt(v[1]-inxs[inx2]+1);
					ans.emplace_back(l1 + l2 + l3);
				}

				return ans;
			}
		};

单元测试

vector<int> nums;
		vector<vector<int>> queries;

		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{	
			nums = { 3,1,2 }, queries = { {0,1},{1,2},{0,2} };
			auto res = Solution().countStableSubarrays(nums, queries);
			AssertEx({ 2,3,4 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			nums = { 2,2 }, queries = { {0,1},{0,0} };
			auto res = Solution().countStableSubarrays(nums, queries);
			AssertEx({3,1}, res);
		}

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。