【矩阵快速幂】P5004 专心OI - 跳房子|省选-

本文涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P5004 专心OI - 跳房子

题目背景

Imakf 有一天参加了 PINO2017 PJ 组，他突然看见最后一道题：

他十分蒟蒻，写不出来。

而如今他还是一个蒟蒻，他又看见一道题：

他还是写不出来，于是便来请教您。

题目描述

您有 $N$ 个格子，排成一行，从左往右编号为 $1,2,\cdots ,N$。您站在 $1$ 号格子的左边无限远，开始从左往右跳，跳到 $N$ 号格子右侧为止。由于您是一位成功的 OIer，您自然长得很胖，所以您的腿部力量也非常大！这使得您跳一次，当前格子到目标格子中间必须至少空出来 $M$ 格，但您可以跳无数格远！

您认为这么跳太没意思了，于是便想计算出有多少种方案可以跳完全程。由于方案可能过多，您会输出方案数量模 $(10^9+7)$ 的值

方案不同当且仅当经过的任一一个格子编号不同。

输入格式

第一行两个整数 $N,M$。

输出格式

一个整数，表示跳完全程的方案模 $(10^9+7)$。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 1

输出 #1

13

输入输出样例 #2

输入 #2

6 2

输出 #2

13

说明/提示

测试数据编号	$N$	$M$
$1,2$	$\le 10$	$=1$
$3,4$	$\le 10^7$	$=1$
$5,6$	$\le 10^6$	$=2$
$7,8$	$\le 10^5$	$=3$
$9,10$	$\le 10^4$	$=5$
$11,12$	$\le 10^{12}$	$=1$
$13,14$	$\le 10^{18}$	$=10$
$15\sim 20$	$\le 10^{18}$	$=15$

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le N\le 10^{18}$。

矩阵快速幂

任意选择的两个房子x,y，必须abs(x-y) > M。可以不选择。
dp[i] 记录选择的房子的最大编号是i的方案数。dp[0]=1表示，没有选择任意房子。
dp[i] = dp[0…(i-M-1)]之和
pre = {dp[0…(i-M-1)]之和,dp[i-M]$\cdots dp[i-1]} 共M+1个元素。
cur[0]=pre[0]+pre[1] 即mat[0][0]=1,mat[1][0]=1。
cur[i] = pre[i+1] i $\in$[1,M-1] mat[i+1][i]=1
cur[M] = pre[0] mat[0][M]=1
pre初始化(M+1)个1。
ans = pre *mat^N ans[0]就是答案。
时间复杂度：O(logNMMM)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};


template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:
	CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}
	// 矩阵乘法
	vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {
		const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
		assert(iK == b.size());
		vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			for (int j = 0; j < c; j++)
			{
				for (int k = 0; k < iK; k++)
				{
					ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
				}
			}
		}
		return ret;
	}

	// 矩阵快速幂
	vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {
		vector<vector<T>> res = a;
		for (; n; n /= 2) {
			if (n % 2) {
				res = multiply(res, b);
			}
			b = multiply(b, b);
		}
		return res;
	}
	vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str)
	{
		for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {
			const int t = str[i] - '0';
			pre = pow(pre, mat, t);
			mat = pow(mat, mat, 9);
		}
		return pre;
	}
	vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a)
	{
		vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));
		return multiply(a, b);
	}
	vector<vector<T>> CreateRow(int C) {
		return vector<vector<T>>(1, vector<T>(C));
	}
	vector<vector<T>> CreateUint(int RC) {
		vector<vector<T>> ret(RC, vector<T>(RC));
		for (int i = 0; i < RC; i++) { ret[i][i] = 1; }
		return ret;
	}
protected:
	const  T m_llMod;
};

class KMPEx
{
public:
	static vector<int> ZFunction(string s) {
		int n = (int)s.length();
		vector<int> z(n);
		z[0] = n;
		for (int i = 1, left = 0, r = 0; i < n; ++i) {
			if (i <= r) {//如果此if,r-i+1可能为负数
				z[i] = min(z[i - left], r - i + 1);
			}
			while ((i + z[i] < n) && (s[z[i]] == s[i + z[i]])) {
				z[i]++;
			}
			if (i + z[i] - 1 > r) left = i, r = i + z[i] - 1;
		}
		return z;//z[i] 表示S与其后缀S[i,n]的最长公共前缀(LCP)的长度
	}
};

class Solution {
public:
	int Ans(long long n, int M) {
		CMatMul<> matMul;
		vector<vector<long long>> pre(1, vector<long long>(M + 1, 1));
		vector<vector<long long>> mat(M + 1, vector<long long>(M + 1));
		mat[0][0] = 1, mat[1][0] = 1;
		for (int i = 1; i < M; i++) {
			mat[i + 1][i] = 1;
		}
		mat[0][M] = 1;
		auto ans = matMul.pow(pre, mat, n);
		return ans[0][0];
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
	long long n; int m;
	cin >> n >> m ;
	auto res = Solution().Ans(n, m);
		cout <<res << "\n";		
#ifdef _DEBUG		
	//printf("start=%d,end=%d,T=%d", start,end,T);
	//Out(edge, "edge=");
	//Out(fish, ",fish=");
	/*Out(edge, "edge=");
	Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG		
	return 0;
}

单元测试

TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			auto res = Solution().Ans(5,1);
			AssertEx(13, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			auto res = Solution().Ans(6, 2);
			AssertEx(13, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
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https://edu.youkuaiyun.com/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。