【矩阵快速幂】P11030 『DABOI Round 1』Blessings Repeated|省选-

本文涉及知识点

【矩阵快速幂】封装类及测试用例及样例

P11030 『DABOI Round 1』Blessings Repeated

题目背景

@cyh20100812 因其很有实力被尊称为圣母。

圣母好闪，拜谢圣母！

题目描述

圣母是一名辩论家，即 ENTP。

她在进行一次辩论时的观点是字符串 $S$，她为了让对方信服她的观点她会强调 $k$ 次，所以她的辩词即为 $k$ 个字符串 $S$ 依次首尾相接。

你作为反驳的人可能不能听清楚她说的所有话，所以你只能抓取关键词 $T$，你需要求出 $k$ 个首尾相接的 $S$ 中有多少个子序列（不一定连续）为 $T$，答案对 $998244353$ 取模。

---

【形式化题意】

给定一个正整数 $k$ 和两个字符串 $S,T$。

设字符串 $s$ 为 $k$ 个字符串 $S$ 首尾相接得到的字符串，$n=|s|,m=|T|$。

设答案集合 $P=\{(i_0,i_1,\dots ,i_{m-1})\mid 0\le i_0<i_1<\cdots <i_{m-1}<n,\forall 0\le j<m,s_{i_j}=T_j\}$，请求出 $|P|\mathrm{mod}998244353$。

输入格式

输入共 $3$ 行。

第 $1$ 行 $1$ 个整数，表示 $k$。

第 $2$ 行 $1$ 个字符串，表示 $S$。

第 $3$ 行 $1$ 个字符串，表示 $T$。

输出格式

输出共 $1$ 行 $1$ 个整数，表示答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
stocyhorz
cyh

输出 #1

4

输入输出样例 #2

输入 #2

4
c
ccc

输出 #2

4

说明/提示

【样例 1 解释】

将 $S$ 重复 $2$ 次得到 $\text{stocyhorzstocyhorz}$。

答案集合 $P=\{(3,4,5),(3,4,14),(3,13,14),(12,13,14)\}$，因此 $|P|=4$。

---

【数据范围】

对于 $100\%$ 的数据，$0<k\le 10^{18}$，$0<|S|\le 5\times 10^3$，$0<|T|\le 10$，字符串 $S,T$ 均由小写英文字母组成。

$\text{Point}$	$k\le$	$|S|\le$	$|T|\le$
$1\sim 2$	$10^{18}$	$5\times 10^3$	$1$
$3$	$1$	$5\times 10^3$	$2$
$4\sim 5$	$100$	$5\times 10^3$	$2$
$6\sim 7$	$1$	$50$	$4$
$8\sim 10$	$10$	$5\times 10^3$	$10$
$11\sim 20$	$10^{18}$	$5\times 10^3$	$10$

P11030 矩阵指数幂

k个S组成的字符串KS，其长度为n,T的长度为m。dp[i][j]记录 KS长度为i的前缀，包括子序列T[0…j-1]的数量。
dp[i]$\times$ mats[i%m] = dp[i+1]
matAns = dp[0]*(mats[0…m-1]相乘)^k
matAns便是答案。
dp[0…m]除dp[0]是1外，其它全部是0。
mats[i]的计算方法：
ch=T[i]
for(j=0 to m-1)
{mat[j][j+1]= (ch == T[j]) mat[j][j]=1}

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include <array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};


template<class T = long long>
class CMatMul
{
public:
	CMatMul(T llMod = 1e9 + 7) :m_llMod(llMod) {}
	// 矩阵乘法
	vector<vector<T>> multiply(const vector<vector<T>>& a, const vector<vector<T>>& b) {
		const int r = a.size(), c = b.front().size(), iK = a.front().size();
		assert(iK == b.size());
		vector<vector<T>> ret(r, vector<T>(c));
		for (int i = 0; i < r; i++)
		{
			for (int j = 0; j < c; j++)
			{
				for (int k = 0; k < iK; k++)
				{
					ret[i][j] = (ret[i][j] + a[i][k] * b[k][j]) % m_llMod;
				}
			}
		}
		return ret;
	}

	// 矩阵快速幂
	vector<vector<T>> pow(const vector<vector<T>>& a, vector<vector<T>> b, T n) {
		vector<vector<T>> res = a;
		for (; n; n /= 2) {
			if (n % 2) {
				res = multiply(res, b);
			}
			b = multiply(b, b);
		}
		return res;
	}
	vector<vector<T>> pow(vector<vector<T>> pre, vector<vector<T>> mat, const string& str)
	{
		for (int i = str.length() - 1; i >= 0; i--) {
			const int t = str[i] - '0';
			pre = pow(pre, mat, t);
			mat = pow(mat, mat, 9);
		}
		return pre;
	}
	vector<vector<T>> TotalRow(const vector<vector<T>>& a)
	{
		vector<vector<T>> b(a.front().size(), vector<T>(1, 1));
		return multiply(a, b);
	}
	vector<vector<T>> CreateRow(int C) {
		return vector<vector<T>>(1, vector<T>(C));
	}
	vector<vector<T>> CreateUint(int RC) {
		vector<vector<T>> ret(RC, vector<T>(RC));
		for (int i = 0; i < RC; i++) { ret[i][i] = 1; }
		return ret;
	}
protected:
	const  T m_llMod;
};

class Solution {
public:
	const int MOD = 998244353;
	int Ans(long long k, const string& s, const string& t) {
		const int N = s.length(), M = t.length();
		CMatMul<> matMul(MOD);
		auto pre = matMul.CreateRow(M + 1);
		pre[0][0] = 1;
		auto mat = matMul.CreateUint(M + 1);
		for (const auto& ch : s) {
			auto cur = matMul.CreateUint(M + 1);
			for (int j = 0; j < M; j++) {
				cur[j][j + 1] = (ch == t[j]);
			}
			mat = matMul.multiply(mat, cur);
		}
		auto ans = matMul.pow(pre, mat, k);
		return ans[0].back();
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0);
	long long n; string s, t;
	cin >> n >> s>>t ;
		auto res = Solution().Ans(n,s,t);
		cout <<res << "\n";
		
#ifdef _DEBUG		
	//printf("start=%d,end=%d,T=%d", start,end,T);
	//Out(edge, "edge=");
	//Out(fish, ",fish=");
	/*Out(edge, "edge=");
	Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	
	
	return 0;
}

单元测试

	TEST_METHOD(TestMethod1)
		{
			auto res = Solution().Ans(2,"stocyhorz","cyh");
			AssertEx(4, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod2)
		{
			auto res = Solution().Ans(4, "c", "ccc");
			AssertEx(4, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步优快云学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.youkuaiyun.com/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.youkuaiyun.com/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。