洛谷P5004 专心OI-跳房子（矩阵加速）

zwjdd_qwq

于 2019-08-12 17:03:09 发布

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分类专栏：数论

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂求解线性递推问题的方法，通过构建特定的转移矩阵，并利用矩阵快速幂进行高效计算，最终得到递推序列的第n项值。文章提供了详细的代码实现，包括矩阵乘法、矩阵快速幂等关键步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

话不多说
新建矩阵
$\left[ \begin{matrix} sum[i] \\ f[i+1] \\ ...\\ f[i+m] \end{matrix} \right]$

不难看出，转移矩阵为
$\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & ... &...&0\\ 0& 0& 1&...&0\\ 0&0&0&1&...\\ ...&...&...&...&1\\ 1&0&0&0&0 \end{matrix} \right]$ 是一个m+1的矩阵
那么直接矩阵快速幂n次，答案就是c[1][1]

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 25;
const int mod = 1e9+7;
ll n,m,f[maxn];
struct Mul
{
	int x,y;
	ll c[maxn][maxn];
	friend Mul operator *(const Mul &a,const Mul &b)
	{
		Mul c;
		c.x=a.x;
		c.y=b.y;
		for(int i=1;i<=a.x;i++)
		{
			for(int j=1;j<=b.y;j++)
			{
				c.c[i][j]=0;
				for(int k=1;k<=a.y;k++)
				{
					c.c[i][j]=(c.c[i][j]+a.c[i][k]*b.c[k][j])%mod;
				}
			}
		}
		return c;
	};
	
	void clear()
	{
		x=y=0;
		memset(c,0,sizeof(c));
	}
	
	void out()
	{
		for(int i=1;i<=x;i++,cout<<endl)
			for(int j=1;j<=y;cout<<c[i][j]<<" ",j++);
		cout<<endl;
	};
	
};


Mul fast(Mul a,ll k)
{
	if(k==1)return a;
    Mul res=a;k--;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=a*res;
		k/=2,a=a*a;
    }
    return res;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(n<=m){cout<<n+1;return 0;}
	Mul temp,move;
	temp.clear();
	temp.x=m+1;
	temp.y=1;
	for(int i=1;i<=m+1;i++)temp.c[i][1]=1;
	move.clear();
	move.x=m+1,move.y=m+1;
	move.c[1][1]=move.c[m+1][1]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)move.c[i][i+1]=1;
	Mul ans=fast(move,n+1);
	ans=ans*temp;
    //ans.out();
	cout<<ans.c[m+1][1];
}