傅里叶级数和傅里叶变换(从线性代数角度)

主要参考Stanford的公开课。

cos(x),sin(x), $e^{ix}$ 的转换

周期是$2\pi$ 的情况
$$f(x)=a_0+\sum _1^{\infty }{a}_{k}cos(kx)+\sum _1^{\infty }{b}_{k}sin(kx)$$
$$f(x)=\sum _0^{\infty }{c}_k{e}^{ikx}$$
$$c_k=\frac{a_k}{2}-i\frac{b_k}{2}(k>0)$$
由于$c_{-k}=\overline{c_k}$，所以第二个式子中虚部最后是被消掉的。
假设
$$c_k=\frac{a}{2}-i\frac{b}{2}$$
$$c_k{e}^{ikx}+c_{-k}{e}^{-ikx}$$
$$=\frac{(a-ib)[\cos (kx)+i\sin (kx)]+(a+ib)[\cos (kx)-i\sin (kx)]}{2}$$
$$=a\cos kx+b\sin kx$$

把函数和向量类比

首先是复变函数内积的定义，
$$\int f(x)\overline{g(x)}dx$$
有了内积之后，就可以定义正交了，
$$\int f(x)\overline{g(x)}dx=0$$
然后，
$$\begin{gathered} cos(x),cos(2x),cos(3x)... \\ sin(x),sin(2x),sin(3x)... \end{gathered}$$
是一组正交向量，但是本科的时候就只理解到这里，其实还可以再向后想一点点的，
$$...,e^{-2ix},e^{-ix},e^{0ix},e^{ix},e^{2ix},e^{3ix},...$$
也是一组正交的向量，但是后者更好，因为后面每个向量的长度是相同的，也就是，
$${\int }_0^{2\pi }\cos x\cos xdx=\pi$$
$${\int }_0^{2\pi }1dx=2\pi$$
$${\int }_0^{2\pi }{e}^{ix}{e}^{-ix}dx=2\pi$$
还有一个小细节，这两组基的个数是相等的，都是整数的个数。
把一个函数转成一组正交函数的线性组合，相当于把这个函数向这些正交基投影,
$$c_k\sqrt{2\pi }={\int }_0^{2\pi }f(x)\frac{\overline{e^{ikx}}}{\sqrt{2\pi }}dx$$
或者，
$$c_k=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)e^{-ikx}dx$$
周期为$T$ 时，
$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(x)e^{-ik\frac{2\pi }{T}x}dx$$
然后是收敛条件，
$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_0^{2\pi }(f(x)-\sum _0^k{c}_k{e}^{ikx}{)}^{2}dx=0$$
积分和差的平方和在一起是不是有最小二乘法的感觉，用向量的东西做类比就是f(x)是可以完全被这组有无穷个的正交的基表示。
然后是energy，
$$\sum _0^{\infty }|c_k{|}^2$$
或者，
$$\sum _0^{\infty }{c}_k\overline{c_k}$$
也就是在取定基下，向量的长度。

傅里叶变换

从傅里叶级数到傅里叶变换，视频中老师用的办法是使 $T\to \infty$。
具体是随便一个定义域是闭区间的函数，把这个函数的定义域扩大，扩大的地方函数值为0。由于周期越来越大，想要的傅里叶级数展开的每一项系数会越来越小，最终变为0。为了时傅里叶级数不为零，所以把求傅里叶级数的系数时前面要乘的$\frac{1}{T}$ 去掉，于是变为,
$$c_k={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-ikx}dx$$
其实，这里我还是没有想明白。
不过也许可以从另一个角度想，
$f(x)$ 可以看成是一组自然基底$\delta (x-x_0),x_0\in R$ 的线性组合，由于基是连续的，所以求和只好变为积分,
$$f(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x_0)\delta (x-x_0)d{x}_0$$
同时，$f(x)$ 还可以看成是另一组基底$e^{i2\pi sx},s\in R$ 的线性组合，
$$f(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{c}_s{e}^{i2\pi sx}ds$$
为了比较，把前面式子中的$x_0$ 换成s，
$$f(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(s)\delta (x-s)ds$$
这样就可以很清楚的看到：

• $f(s)$和$c_s$相对应，都是函数给定后，就确定的常数，只是前者是一眼就能看出的，后者需要傅里叶变换才能求出
• $\delta (x-s)$ 和 $e^{i2\pi sx}$ 相对应 他们都是s 和 x 的函数，在x自由变化时，刚好组成两组正交的基底，并且两组基的个数是相同的，都是x可以取的值的个数，也就是实数的个数。

这里有个重要的等式，
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{ias}ds=\delta (a)$$
或者，
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{is{x}_1}\overline{e^{is{x}_2}}ds={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{is{x}_1}{e}^{-is{x}_2}ds={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{is(x_1-x_2)}ds=\delta (x1-x2)$$

把逆变换公式代入变换

为了方便我们假设变换公式
$$F(w)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-jwt}dt$$
逆变换公式 （其实，对比傅里叶级数，逆变换公式是更容易的理解的）
$$f(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{jwt}dw$$
逆变换代入变换
$$F(w_0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{jwt}dw\right]e^{-j{w}_{0}t}dt$$
$$F(w_0)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{j(w-w_0)t}dw\right]dt$$
交换内外积分,
$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)e^{j(w-w_0)t}dt\right]dw$$
$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{j(w-w_0)t}dt\right]dw$$
$$={\int }_{-\infty }^{+\infty }F(w)\delta (w-w_0)dw$$
$$=F(w_0)$$