数字计算机傅里叶变换电路
下面介绍一种使用傅里叶变换进行AD信号转换的计算机端口电路。相关资料下载网址如下：
「计算机傅里叶变换电路」https://www.aliyundrive.com/s/FPz6PW4yUni
微云文件分享:数字计算机傅里叶变换电路下载地址:https://share.weiyun.com/x8lOT6O2
https://115.com/s/sw6h09n33u5?password=dcf1#
数字计算机傅里叶变换电路
访问码：dcf1
链接:https://pan.baidu.com/s/1_m_PmV22DL60e8fJskDNVw?pwd=6ch7
提取码:6ch7
链接:https://pan.baidu.com/s/1a6tSWaGfXs6sbbekZsuNYA?pwd=9g4x
提取码:9g4x
https://kdocs.cn/join/g3g4hz0?f=101
https://kdocs.cn/join/gz3vddr?f=101
https://kdocs.cn/join/ge5wqfb?f=101
第一部分傅里叶级数勒让得多项式解法
下面的资料可参见《高等微积分》，赵访熊著，商务印书馆1946年出版。
[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cosnx,sinmx}，n,m=1,2,…。
设f(x)在(-π，π)间节可积，则其正交系数为：
π
∫ 1 f(x)dx
-π 2 1 π
a = = ∫ f(x)dx
π 2 π -π
∫ （ 1 ） dx
-π 2
y=f(x)=πa （1）
0
π
∫ f(x)cosnxdx
-π 1 π
a = = ∫ f(x)cosnxdx
n π 2 π -π
∫ cos nxdx
-π
y`cosnx-nysinnx=πa
n
2
y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx=πa (2)
N
π
∫ f(x)sinnxdx
-π 1 π
b = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π -π
∫ sin nxdx
-π
y`sinnx+nycosnx=πb
n
2
y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx=πb (3)
n
其正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)
2 k-1 k k
名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fouriers series),a ,a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数” 0 n (Cosine coefficient),b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。合称富氏级数之系 n 数a ,a ,b 为f(x)z之“富氏系数”(Fourier coefficients)。 0 n n a 0 ∞ y= + ∑ (a coskx+b sinkx) 2 k-1 k k (1)+(2)+(3)得 y=f(x)=πa (1) 0 2 y``cosnx-nysinnx-nysinnx-n ycosnx=πa (2) n 2 y``sinnx+nycosnx+nycosnx+n ysinnx=πb (3) n 2 2 y``cosnx-nysinnx-nysinnx-n ycosnx+y``sinnx+nycosnx+ny`cosnx+n ysinnx+y
=πb +πa +πa
n n 0
2 2
ycosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx+ysinnx+nycosnx+nycosnx+n ysinnx+y
-πb -πa -πa =0
n n 0
2
(sinnx+cosnx)y+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0 0 n n 因为 2 (1-x )y-2xy+n(n+1)y=0 设 x=t 2 (1-t )y``-2ty+n(n+1)y=0
根据勒让得多项式求解微分方程，上面方程的解是：
∞ 2k ∞ 2k+1
y=∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
所以
2
(1-t )y``-2ty`+n(n+1)y=s (5)
上面方程的解是：
∞ 2k ∞ 2k+1
y=s+∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
假设(4)和(5)是同一个方程，得
sinkx+coskx=1-t
2n(coskx-sinkx)=-2t
2
n (sinkx+coskx+1)=n(n+1)
πa +πa +πb =s
0 n n
所以
t=1-sinkx-coskx,
-t=n(coskx-sinkx),
n(sinkx+coskx+1)=n+1,
n(sinkx+coskx)=1,
n=1/(sinkx+coskx),
所以
∞ 2k ∞ 2k+1
y=s+∑ a t + ∑ a t
k=0 2k k=0 2k+1
∞ 2k ∞ 2k+1
y=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinkx-coskx) +∑ a [-k(coskx+sinkx)]
0 n n k=0 2k k=0 2k+1
因为,
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
所以so
a
0 ∞
+ ∑ (a coskx+b sinkx)=
2 k-1 k k
∞ 2k ∞ 2k+1
=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinnx-cosnx) +∑ a [-n(cosnx+sinnx)]
0 n n k=0 2k k=0 2k+1
所以
2k
a (1-sinkx-coskx) =a coskx
2k k
2
a =coskx/2(1-sinkx-coskx)
k
2k+1
b [-n(cosnx+sinnx)] = b sinkx
2k+1 k
3
b =sinkx/3[-n(cosnx+sinnx)]
K
所以傅里叶变换(6)可写为，
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
∞ 2 2 3
y=2πx+ ∑ {cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }
k=1
当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y,那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y，
9-1勒氏多项式，即勒让德多项式
兹求勒(Legendre)氏微分方程：
2
(1-x )y-2xy`+n(n+1)y=0 之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解： ∞ k y= ∑ a x k=0 k 则可逐项微分一次及二次，依次得： ∞ k-1 y`= ∑ ka x k=1 k 及 ∞ k-2 y= ∑ k(k-1)a x
k=2 k
代入勒氏微分方程即得
2 2 ∞
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x
0 1 2 1 2 k=1 k
∞ k ∞ k-1
+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0
k=2 k k=1 k
2
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)
0 1 2 1 2
∞ 2 k-2 k-i k
-
∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0
k=2 k k k∞ k
[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0
2 0 3 1 k=2 k+2 k
故必有
n(n+1)
a =- a
2 2 0
n(n+1) -2
a =- a
3 3*2 0
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,...
k+2 (k+2)(k+1) 2
亦即
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,… (1)
k+2 (k+2)(k+1) 2
此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,…a …均为a 及此循环公式所定，
k 0 2 4 2k 0
并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,…a …均为a 及此循环公式所定，
0 1 2 3 2k+1 1
并均为a 之常数倍数，写y作：
1
∞ 2k ∞ 2k+1
y= ∑ a x + ∑ a x
k=0 2k k=0 2k+1
傅里叶级数的反级数, 因为傅里叶级数如下：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)
2 k-1 k k
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)
2 k-1 k k
根据反函数的相关性质，可推导出
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)
2 k-1 k k
利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。因为级数
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)
k=1
根据反函数的相关性质，可推导出
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (3)
k=1
利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。将(2)代入(3),得
∞ 2 2 3
z=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (5)
k=1
上式中,
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)
2 k-1 k k
这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。
将(4)代入(1),得
a
0 ∞
z= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
上式中,
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)
k=1
这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。上面的情况是正交函数的情况，如果是非正交函数，则要乘以空间的夹角的正弦. 所以,
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)
2 k-1 k k
可改写为
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx)sinβ
2 k-1 k k
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)
2 k-1 k k
可改写为
a
0 ∞
x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)arc sinβ
2 k-1 k k
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
∞ 2 2 3
x=2πy + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)
k=1
可改写为
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }sinβ
k=1
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)
k=1
可改写为
∞ 2 2 3
y=2πx + ∑{arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] }arc sinβ
k=1
上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间。
9-7.白氏函数，即贝塞尔函数
试求“白氏微分方程：(Bessels differential equation): 2 2 2 x y``+xy+(x -n )y=0
之幂级数解，设有一收敛幂级数解：
∞ m+k
y= ∑ (m+k)a x
k=0 k
则,
∞ m+k-1
y`= ∑ (m+k)a x
k=0 k
∞ x+k-2
y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x
k=0 k
代入白氏微分方程，即得
2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k
(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0
0 1 k=2 k k-2
故必有
2 2
(m -n )a =0
0
2 2
[(m+1) -n ]a =0
1
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
2 2
(m+k) -n
兹令m=n，则第一次并不限制a ,因
0
2 2 2 2
(m+1) -n =(n+1) -n ≠0
故第二式限制a =0，因
1
2 2 2 2
(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)
故第三式为：
a
k-2
a =- ,k=2,3,…,
k k(k+2n)
因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,…,给定a ≠0并给定n非负整数，
1 2k+2 0
则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,…,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故
0 2k 2k 0
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
因,
│a │
k 1
Lim = Lim =0
k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│
k-2
此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。
由上面的推导可知
2
(sinnx+cosnx)y+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0 (4) 0 n n 因为, 2 2 2 x y+xy+(x -n )y=0 设 x=t 2 2 2 t y``+ty+(t -n )y=0
根据贝赛尔多项式求解微分方程，上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
所以,
2 2 2
t y``+ty`+(t -n )y=s (5)
上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=s+t ∑ a x
k=0 2k
假设(4)和(5)是同一个方程，得
2
sinkx+coskx=t
2n(coskx-sinkx)=t
2 2 2
n (sinkx+coskx+1)=t -n
πa +πa +πb =s
0 n n
所以,
t= sinkx+coskx
2n(coskx-sinkx)=t,
2 2
n (sinkx+coskx+2)=t
n=t/ (sinkx+coskx+2)
所以,
2 2 2
t y``+ty`+(t -n )y=s
2 2
4n (coskx-sinkx) y``+ (sinkx+coskx) y`+{(sinkx+coskx)-[(sinkx+coskx)/(sinkx+coskx+2)]}y=s
上面方程的解是：
n ∞ 2k
y=s+t ∑ a x
k=0 2k
∞ k
y=πa +πa +πb + ∑ a (sinkx+coskx)
0 n n k=0 k
或
∞ 2k+1
y=πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)
0 n n k=0 2k+1
因为，
a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
a
0 ∞ ∞ 2k+1
+ ∑ (a coskx+b sinkx) =πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)
2 k-1 k k 0 n n k=0 2k+1
所以傅里叶变换(6)可写为，
. a
0 ∞
y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)
2 k-1 k k
∞ 2k+1
y=2πx+ ∑ a 2n(coskx-sinkx)
k=1 2k+1
当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y, 那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y。
第八章富氏级数及富氏积分.
8-1.正交函数集
1 2 3
设a ,a a 为三个空间相互垂直非零矢量，则
i j
a +a =0,i≠j,i,j=1,2,3
设b为空间随意矢量，则b恒可写为：
1 2 3
b=c a +c a +c a
1 2 3
i i i
其中c ,c ,c 为数量，因b*a =c a a ，故其值为：
1 2 3
i
bn
c = ,i=1,2,3
i i i
a *a
兹讨论一类似问题，问题为给定一在(a,b)间节之函数集(φ,(x)),n=0,1,2,…,及一在(a,b)间节之随意函数f(x).
(1)是否可展开f(x)为函数集(φ,(x))之函数级数：
∞
f(x)∽ ∑ c φ (x)？
k=0 k k
(2)在何种条件下，
∞
f(x)= ∑ c φ (x)？
k=0 k k
在讨论问题前，先证明于二级平直微分方程之下列二定理：
定理8-1，给定a (x)y+a (x)y`+a (x)y，则恒有函数p(x),q(x),及r(x)使 2 1 0 d r(x)[a (x)y+a (x)y+a (x)y]= [p(x)y]+q(x)y
2 1 0 dx
[证]所求三函数p,q,r之必要及充分条件为：
ra =p (1)
2
ra =p (2)
1 q
ra =p (3)
0 a
自(1)及(2)即得
a
d p` 1
logp= =
dx p a
2
即,
a
1
∫ dx
a
p=ce 2
兹选：
a
1
∫ dx
a
p=ce 2
a
1
∫ dx
1 a
r= e 2
a
2
a
1
a ∫ dx
0 a
q= e 2
a
2
则(1),(2)，及(3)均满足,
[例1]
2 d 2
y``+n y= y`+n y,
dx
2
r=1,p=1,q=n
[例2]
2 d 2
(1-x )y-2xy`+m(m+1)y= [1-x )y`]+m(m+1)y, dx 2 r=1,p=(1-x ),q=m(m+1) [例3] 2 d 2 xy+y+k xy= [xy]+k xy,
dx
2
r=1,p=z,q=k z,
定理8-2，设y (x)及y (x)依次为
1 2
d
[py` ]+q y =0
dx 1 1 1
d
[py` ]+q y =0
dx 2 2 2
之解，则
b b
∫ (q -q )y y dx=p(y y -y y )
a 2 1 1 2 1 2 1 2 a
[证]以y 乘第一微分方程，以y 乘第二微分方程，相减即得
2 1
d d d
y [py ]-y [py ]= [p(y y -y y )]=(q -q )y y
2 dx 1 dx dx 1 2 1 2 2 1 1 2
自a至b积分，即证此定理
正交函数集定义：设y (x)及y (x)为在间节(a,b)可积函数集{y },n=0,1,2,…,之任何两
i j n
个不同函数，即有
b
∫ y (x)y (x)dx=0,
a I j
则称此函数值为在间节(a,b)之“正交函数集”(Set of orthogonal functions)。
[例1]{sinnx},n=1,2,…,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。
因y =sin nx及y =sin mz依次满足：
n m
d 2
[y` ]+n y =0
dx n n
d 2
[y` ]+m y =0
dx m m
标定理8-2即得
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y ) =0
0 n m n m n m 0
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y ) =0
-π n m n m n m -π
2 2
故设m≠n,则m -n ≠0，即有
π π
∫ y y dx=0,及∫ y y dx=0,
0 n m -π n m
[例2]{1/2,cos nx},n=1,2,…,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。
因y =cosnx,y =cos mx依次满足例1之微分方程，
n m
准定理8-2并注意y =-ksinkx在x=0,π,-π之值均为零，不论k为何数，即得： k 2 2 π π (m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y` ) =0
0 n m n m n m 0
2 2 π π
(m -n ) ∫ y y dx=(y y -y y ) =0
-π n m n m n m -π
函数1/2可写为
1
y (x)= cos0x
0 2
其微商恒等于零。故设m≠n,m,n=0,1,2,…,则
π π
∫ y y dx=0, ∫ y y dx=0,
0 n m -π n m
[例3]{1/2,cos nx,sin nx},m,n=1,2,…,为(-π,π)间节之正交函数集。
f(x)=cos nx sin nx,n=0,1,2,…,m=1,2,…为奇函数，故
π
∫ cos nx sin mx dx=0,n=0,1,2,…,m=1,2,…,
-π
自例1及2已知
π
∫ cos nx cos mx dx=0,m≠n,
-π
π
∫ sin nx sin mx dx=0,m≠n,
-π
故已证此函数集为(-π,π)间节之正交函数集。
[例4]名“勒氏方程”(Legendres equation): d 2 [(1-x )y]+n(n+1)y=0,n=0,1,2,…
dx
之多项式解之满足y(1)=1者为“n级勒氏多项式”(Legendre poly-nomial),
以P (x)表之，则{P (x)},n=0,1,2,…为(-1,1)间节之正交函数集。
n n
准定理8-2，知
1 1
[m(m+1)-n(n+1)] ∫ P P dx=(1-x )(P P -P P ) =0
-1 n m n m n m -1
故设m≠n，则
1
m(m+1)-n(n+1)≠0,故 ∫ P P dx=0
-1 n m
[例5]名“白氏方程”（Bessels equation): d 2 (xy)+k xy=0
dx n
之幂级数解为J (k x)。
0 0
设J (k a)=0,n=1,2,…,0<k <k <k …，则
0 n 1 2 3
b
∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。
a 0 n 0 m
亦称(J (k x)),n=1,2,…,为(0,a)间节之“广义正交函数集”(Generalized orthogonal set)。
0 x
准定理8-2，知
2 2 b
(k -k )∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。
m n a 0 n 0 m
π
=x[J (k x)J (k x)-J (k x)J (k x)] =0
0 n 0 m 0 n 0 m 0
2 2
设n≠m，则k -k ≠0,故得所欲证。
m n
8-2.正交函数级数之展开公式
设f(x)为在(a,b)间节可积之随意函数，{φ (x)},n=0,1,2,…, 为(a,b)区间之正交函数集。
设f(x)已展开成一收敛f(x)之正交函数级数：
∞
f(x)= ∑ a φ (x)
k=0 k k
并在(c,b)间节可逐项积分，则
b ∞ b b
∫ fφ dx= ∑ a ∫ φ φ dx=a∫ φ dx=a
a n k=0 k a k n a n
故必有
b
∫ fφ dx
a n
a = ,n=0,1,2,…, (1)
b 2
∫ φ dx
a n
兹名a 为f(x)之“正交系数”，
n
∞
∑ a φ (x) 为于f(x)相当之“正交函数级数”而以
k=0 k k
∞
f(x)∽ ∑ a φ (x)
k=0 k k
表之，并读符号∽作“相当于”。设f(x)为在(a,b)间节可积函数，则其正交系数可自公式(1)求出，故与f(x)相当于正交函数级数亦已定。惟求出与f(x)相当于之正交函数级数在间节(a,b)是否收敛，即收敛其值是否即f(x)，尚待将来讨论之。
π
∫ f(x)sinnxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a sinnx
k=0 n
名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fouriers sine series)。 n 名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fouriers sine series)。
例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为
4 1
,n=1,2,…
2 2 1 n π n
a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {
n π π n 0,n为变数
其富氏正弦级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
1∽ ∑ ,0<x<π
π k=0 2k+1
[例1]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,…
设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：
π
∫ f(x)sinnxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)sinnxdx
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a sinnx
n=1 n
名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fouriers sine series)。 n 名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fouriers sine series)。
例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为
4 1
,n=1,2,…
2 2 1 n π n
a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {
n π π n 0,n为变数
其富氏正弦级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
1∽ ∑ ,0<x<π
π k=0 2k+1
[例2]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,…
设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：
π 1
∫ f(x)dx
0 2 2 π
a = = ∫ f(x)dx
n π 1 2 π 0
∫ ( ) dx
0 2
π
∫ f(x)cosxdx
0 2 π
a = = ∫ f(x)cos nxdx,n=1,2,......
n π 2 π 0
∫ cos nxdx
0
其相当于正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ a sinnx
2 n=1 n
名a ,n=0,1,2,…为f(x)之“富氏余弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s cosine series)。
n
[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx,sin nx},n,m=1,2,…
设f(x)在(-π,π)间节可积，则其正交系数为：
π 1
∫ f(x)dx
-π 2 1 π
a = = ∫ f(x)dx
n π 1 2 π -π
∫ ( ) dx
-π 2
π
∫ f(x)cosnxdx
-π 1 π
a = = ∫ f(x)cos nxdx,
n π 2 π 0
∫ cos nxdx
-π
π
∫ f(x)sinnxdx
-π 1 π
b = = ∫ f(x)sin nxdx,
n π 2 π 0
∫ sin nxdx
-π
其正交函数级数为：
a
0 ∞
f(x)∽ + ∑ (a cos kx+b sin kx)
2 n=1 k k
名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fourier`s series),a , a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数”
0 n
(Cosine coefficient)，b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。
n
合称富氏级数之系数a ,a ,b 为f(x)之“富氏系数”
0 n n
(Fourier coefficients of Fouriers cosine series)。名其相当正交函数级数为f(x)之“富氏余弦级数”(Fouriers cosine series)。
自富氏系数定义知设f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)，则f(x)之富氏级数之正弦系数均为零，其余弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏余弦级数系数。设f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则f(x)之富氏级数之余弦系数均为零，其正弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数系数。
例如:
2,0<x<π
f(x)={
0,-π<x<0
作
1,0<x<π
g(x)=f(x)-1={
-1,-π<x<0
g(x)为奇函数，其富氏级数即g(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数：
4 ∞ sin(2k+1)x
f(x)∽ + ∑
π k=1 2k+1
故f(x)之富氏级数为：
4 ∞ sin(2k+1)x
f(x)∽1+ ∑
π k=1 2k+1
[例4]给定在(-1,1)间节之正交函数集{P (x)},n=0,1,2,…,
n
设f(x)在(-1,1)间节可积，则其正交系数为：
1
∫ f(x)P (x)dx
-1 n
a =
n 1 2
∫ P (x)dx
-1 n
名为“勒氏系数”(Legendre conefficients)。其正交函数级数为：
∞
f(x)∽ ∑ a P (x)
n=1 k k
名为f(x)之：勒氏级数(Legendre`s series)
9-1勒氏多项式，即勒让德多项式
兹求勒(Legendre)氏微分方程：
2
(1-x )y-2xy`+n(n+1)y=0 之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解： ∞ k y= ∑ a x k=0 k 则可逐项微分一次及二次，依次得： ∞ k-1 y`= ∑ ka x k=1 k 及 ∞ k-2 y= ∑ k(k-1)a x
k=2 k
代入勒氏微分方程即得
2 2 ∞
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x
0 1 2 1 2 k=1 k
∞ k ∞ k-1
+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0
k=2 k k=1 k
2
n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)
0 1 2 1 2
∞ 2 k-2 k-i k
-
∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0
k=2 k k k∞ k
[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0
2 0 3 1 k=2 k+2 k
故必有
n(n+1)
a =- a
2 2 0
n(n+1) -2
a =- a
3 3*2 0
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,...
k+2 (k+2)(k+1) 2
亦即
n(n+1)-k(k+1)
a =- a ,k=2,3,… (1)
k+2 (k+2)(k+1) 2
此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,…a …均为a 及此循环公式所定，
k 0 2 4 2k 0
并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,…a …均为a 及此循环公式所定，
0 1 2 3 2k+1 1
并均为a 之常数倍数，写y作：
1
∞ 2k ∞ 2k+1
y= ∑ a x + ∑ a x
k=0 2k k=0 2k+1
设n非零及正整数，a 及a 为两个随意常数，则上式表示二无穷级数（非多项式）。
0 1
因
│a │ │n(n+1)-k(k+1)│
k-2
Lim = Lim =1
k→∞ │a │ k→∞ (k+2)(k+1)
k
故上式两个幂级数之收敛半径均为1，其和y之收敛半径亦为1.
因此幂级数解已含a 及a 两个随意常数，故此即勒氏方程之全解。
0 1
设n=2m,m=0,1,2,…,使a =0，则a =0,k=0,1,2,…, 使a ≠0,
0 2k 0
则a ,a ,…,a 均不等于零，而a ,a ,…,均等于零，故得一多项式解：
2 4 2m 2m+2 2m+4
m 2k
y (x)=α ∑ a x
2m 0 k=0 2k
定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x)
0 2m 2m
设n=2m+1,m=0,1,2,…,使a =0，则a =0,k=0,1,2,…
0 2k
使a ≠0,则a ,a ,…,a 均不等于零，
1 3 5 2m+1
而a ,a ,…,均等于零，故得一多项式解：
2m+3 2m+5
m 2k+1
y (x)=α ∑ a x
2m+1 1 k=0 2k+1
定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x)
1 2m+1 2m+1
名P (x),n=0,1,2,…,为n次“勒氏多项式”(Legendre polynomials)。
n
例如：
P (x)=1
0
P (x)=x
1
3 3 1
P (x)= x -
2 2 2
5 3 3
P (x)= x - x
3 2 2
7*5 4 5*3 2 3*1
P (x)= x -2 x +
4 42 42 4*2
9*7 5 7*5 3 5*3
P (x)= x -2 x + x
5 42 42 4*2
9-2.勒氏多项式之特性
设P点之极坐标为(r,θ)，Q点之极坐标为(1,0)，
P
π
ρ
θ
O 1 Q
PQ之长为ρ，则
2 2
ρ =1-2rx+r =1+y，
1 1 1 13 2
= =1- y+ y -……
ρ 2 24
1+y
2
令1/ρ之y幂级数之收敛半径为1，y之r幂级数y=-2xr+r 无常数项，
2
准定理4-16知以y=-2xr+r 代入1/ρ之y幂级数后必得一收敛r幂级数。
1 ∞
= ∑ f(x)r
ρ n=0
兹讨论f (x)之特性
n
1.设x=1,则
2 2
ρ =(1-r) ,
1 1 ∞ n ∞ n
= = ∑ r = ∑ f (1)r
ρ 1-r n=0 n=0 n
故有：
f (1)=1,n=0,1,2,… (1)
n
2.设x=-1,则
2 2
ρ =(1-r) ,
1 1 ∞ n n ∞ n
= = ∑ (-1) r = ∑ f (-1)r
ρ 1-r n=0 n=0 n
故有：
n
f (-1)=(-1) ,n=0,1,2,… (2)
n
2 2
3.设x=0,则ρ =1+r
1 1 k 135……(2k-1) 2k ∞ n
= =∑(-1) r = ∑ f (0)r
ρ 246……(2k) n=0
1+y
故有：
0,设n为单正整数
f (0)={ n/2 135…(n-1)
n (-1) ,设n为双正整数
246…n
9-7.白氏函数，即贝塞尔函数
试求“白氏微分方程：(Bessels differential equation): 2 2 2 x y``+xy+(x -n )y=0
之幂级数解，设有一收敛幂级数解：
∞ m+k
y= ∑ (m+k)a x
k=0 k
则,
∞ m+k-1
y`= ∑ (m+k)a x
k=0 k
∞ x+k-2
y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x
k=0 k
代入白氏微分方程，即得
2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k
(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0
0 1 k=2 k k-2
故必有
2 2
(m -n )a =0
0
2 2
[(m+1) -n ]a =0
1
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
2 2
(m+k) -n
兹令m=n，则第一次并不限制a ,因
0
2 2 2 2
(m+1) -n =(n+1) -n ≠0
故第二式限制a =0，因
1
2 2 2 2
(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)
故第三式为：
a
k-2
a =- ,k=2,3,......,
k k(k+2n)
因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,…,给定a ≠0并给定n非负整数，
1 2k+2 0
则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,…,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故
0 2k 2k 0
n ∞ 2k
y=x ∑ a x
k=0 2k
因,
│a │
k 1
Lim = Lim =0
k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│
k-2
此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。
设n非负整数，令
1
a =
0 n
2 Γ(n+1)
准循环公式
a
2(k-1)
a =
2k 2
2 k(k+n)
即得
1 1 1
a = =-
2 2 n n+2
2 (1+n) 2 Γ(n+1) 2 Γ(n+2)
1 1 1
a = =
4 2 n+2 n+4
2 2(2+n) 2 
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
